Matematyka.pl

Witam. Mam następujące pytanie dotyczące rozwiązywania równań macierzowych.

Jaka jest kolejność mnożenia (tzn. którą macierz przez którą należy pomnożyć) podczas rozwiązywania równań macierzowych za pomocą macierzy odwrotnej?
Weźmy taki przykład:
dana macierz A * X * dana macierz B = dana macierz C

jeśli mamy jak napisałeś
\(\displaystyle{ A\cdot X\cdot B=C}\)
to ważne jest żeby pomnożyć przez macierz odwrotną 'z tej samej strony' (tak żeby po jednej stronie, tu lewej, sie zredukowało, i z drugiej po tej samej), w tym przypadku mnożymy obie strony przez \(\displaystyle{ B^{-1}}\)z prawej i przez \(\displaystyle{ A^{-1}}\) z lewej:
\(\displaystyle{ A^{-1}\cdot A\cdot X\cdot B\cdot B^{-1}=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}}\)

Bardzo dziękuję za odpowiedź. Właśnie o to mi chodziło żeby dowiedzieć się, że należy mnożyć "z tej samej strony".

Mam podobne pytanie (ponieważ nie wychodzi mi tak jak powinno) jak obliczyć X, przy danej macierzy A i B

(A*X)^-1=B

\(\displaystyle{ (A\cdot X)^{-1}=B}\)
\(\displaystyle{ ((A\cdot X)^{-1})^{-1}=B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A\cdot X=B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=A^{-1}\cdot B^{-1}}\)

PS: zapoznaj się z instrukcją LaTeXa, żeby zapis wyglądał ładniej

Dziękuję bardzo!

Może trochę odgrzewam, ale myślę, że nie ma sensu zaśmiecać forum nowymi tematami.

Rozumiem, że przez analogię poniższe równana będą rozwiązane tak, jak podałem:
Wszystkie litery to macierze, a X to macierz, którą mamy wyliczyć:
\(\displaystyle{ ABX=C}\)
\(\displaystyle{ BX=A^{-1}C}\)
\(\displaystyle{ X=B^{-1}A^{-1}C}\)

\(\displaystyle{ XAB=C}\)
\(\displaystyle{ XA=CB^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=CB^{-1}A^{-1}}\)

czy można też tak (najpierw wyliczam sobie iloczyn AB, później mnożę przez odwrotność):
\(\displaystyle{ ABX=C}\)
\(\displaystyle{ X=(AB)^{-1}C}\)

\(\displaystyle{ XAB=C}\)
\(\displaystyle{ X=C(AB)^{-1}}\)
Proszę o zweryfikowanie wszystkich powyższych równań, gdyż w poniedziałek mam poprawkę z algebry - będę bardzo wdzięczny za informacje...

loonatic, wszystko jest ok

Dzięki miodzio!

Hej,
Mam jedno zadanie do rozwiązania, jest strasznie trudne a mam jutro poprawę. Mógłby ktoś mi pomóc?

b) AX=C

A=[ 4 0 3]
[ 4 -1 5]

C=[2 1]
[1 1]

Sory, że taki zapis ale dopiero się tutaj zarejestrowałem i nie ogarniam

Wyżej już napisano nie można dzielić macierzy dlatego:

\(\displaystyle{ AX = C / \cdot A^{-1} \\ A^{-1} \cdot A \cdot X = C \cdot A^{-1} \\ I \cdot X = C \cdot A^{-1}}\)

I ma takie znaczenie w mnożeniu macierzy jak liczba 1, nie wnosi nic, ale lewostronnie mnożyłem przez macierz odwrotną do A.

\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{detA} \cdot A^{T}_{D}}\)

\(\displaystyle{ A^{T}_{D}}\) - macierz odwrotna dopełnień algebraicznych.

Pozdrawiam!

damianplflow pisze::

\(\displaystyle{ AX = C / \cdot A^{-1} \\ A^{-1} \cdot A \cdot X = C \cdot A^{-1} \\ I \cdot X = C \cdot A^{-1}}\)

Domnożyłeś z lewej strony więc chyba powinno być \(\displaystyle{ IX=A^{-1} \cdot C}\)

Zgadza się.

Witam. Znalazłem ten temat i przeanalizowałem powyższe przypadki, jednak chciałbym się upewnić, czy to zadanie jest dobrze:
\(\displaystyle{ 2X-XA+ B^{T}=8C}\)

Rozpisałem to tak:

\(\displaystyle{ 2X-XA \cdot A^{-1}+B^{T}=8C \cdot A^{-1}}\)

\(\displaystyle{ 2X-X \cdot I + B^{T}=8C \cdot A^{-1}}\)

\(\displaystyle{ 2X-X=8C \cdot A^{-1}-B^{T}}\)

więc wyszło, że
\(\displaystyle{ X=8C \cdot A^{-1}-B^{T}}\)

Czy dobrze jest to rozpisane?

To się t nie trzyma kupy nawet gdy \(\displaystyle{ A,B,C,X}\) są liczbami.

Wsk \(\displaystyle{ 2X=2IX}\)-- 6 gru 2015, o 20:57 --

ymiatacz pisze:Hej,
Mam jedno zadanie do rozwiązania, jest strasznie trudne a mam jutro poprawę. Mógłby ktoś mi pomóc?

b) AX=C

A=[ 4 0 3]
[ 4 -1 5]

C=[2 1]
[1 1]

Sory, że taki zapis ale dopiero się tutaj zarejestrowałem i nie ogarniam

"Rozwiąznie, które dostałęs jest oczywiście do niczego, bo macierz \(\displaystyle{ A}\) ne jest kwadratowa, więc \(\displaystyle{ A^{-1}}\) nie istnieje.
Wyznacz jaki wymiar musi mieć macierz \(\displaystyle{ X}\) i napisz ukłąd równań liniowych newidomymi, które są jej elementami.

dobra, widzę gdzie jest błąd:
powinno być:

\(\displaystyle{ x(2-A)+B^{T}=8C}\)

\(\displaystyle{ X=\frac{8C-B^{T}}{2-A}}\)