Równania macierzowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
sq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 sie 2007, o 11:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze
Podziękował: 1 raz

Równania macierzowe

Post autor: sq » 7 sie 2007, o 17:45

Witam. Mam następujące pytanie dotyczące rozwiązywania równań macierzowych.

Jaka jest kolejność mnożenia (tzn. którą macierz przez którą należy pomnożyć) podczas rozwiązywania równań macierzowych za pomocą macierzy odwrotnej?
Weźmy taki przykład:
dana macierz A * X * dana macierz B = dana macierz C
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

jasny
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

Równania macierzowe

Post autor: jasny » 7 sie 2007, o 17:53

jeśli mamy jak napisałeś
\(\displaystyle{ A\cdot X\cdot B=C}\)
to ważne jest żeby pomnożyć przez macierz odwrotną 'z tej samej strony' (tak żeby po jednej stronie, tu lewej, sie zredukowało, i z drugiej po tej samej), w tym przypadku mnożymy obie strony przez \(\displaystyle{ B^{-1}}\)z prawej i przez \(\displaystyle{ A^{-1}}\) z lewej:
\(\displaystyle{ A^{-1}\cdot A\cdot X\cdot B\cdot B^{-1}=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}}\)

sq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 sie 2007, o 11:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze
Podziękował: 1 raz

Równania macierzowe

Post autor: sq » 7 sie 2007, o 18:15

Bardzo dziękuję za odpowiedź. Właśnie o to mi chodziło żeby dowiedzieć się, że należy mnożyć "z tej samej strony".

Mam podobne pytanie (ponieważ nie wychodzi mi tak jak powinno) jak obliczyć X, przy danej macierzy A i B

(A*X)^-1=B

jasny
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

Równania macierzowe

Post autor: jasny » 7 sie 2007, o 18:25

\(\displaystyle{ (A\cdot X)^{-1}=B}\)
\(\displaystyle{ ((A\cdot X)^{-1})^{-1}=B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A\cdot X=B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=A^{-1}\cdot B^{-1}}\)

PS: zapoznaj się z instrukcją LaTeXa, żeby zapis wyglądał ładniej

sq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 7 sie 2007, o 11:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zabrze
Podziękował: 1 raz

Równania macierzowe

Post autor: sq » 7 sie 2007, o 18:34

Dziękuję bardzo!

loonatic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 6 sty 2008, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieruszów
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 7 razy

Równania macierzowe

Post autor: loonatic » 12 lut 2010, o 18:01

Może trochę odgrzewam, ale myślę, że nie ma sensu zaśmiecać forum nowymi tematami.

Rozumiem, że przez analogię poniższe równana będą rozwiązane tak, jak podałem:
Wszystkie litery to macierze, a X to macierz, którą mamy wyliczyć:
\(\displaystyle{ ABX=C}\)
\(\displaystyle{ BX=A^{-1}C}\)
\(\displaystyle{ X=B^{-1}A^{-1}C}\)

\(\displaystyle{ XAB=C}\)
\(\displaystyle{ XA=CB^{-1}}\)
\(\displaystyle{ X=CB^{-1}A^{-1}}\)

czy można też tak (najpierw wyliczam sobie iloczyn AB, później mnożę przez odwrotność):
\(\displaystyle{ ABX=C}\)
\(\displaystyle{ X=(AB)^{-1}C}\)

\(\displaystyle{ XAB=C}\)
\(\displaystyle{ X=C(AB)^{-1}}\)
Proszę o zweryfikowanie wszystkich powyższych równań, gdyż w poniedziałek mam poprawkę z algebry - będę bardzo wdzięczny za informacje...
Ostatnio zmieniony 12 lut 2010, o 18:03 przez loonatic, łącznie zmieniany 1 raz.

miodzio1988

Równania macierzowe

Post autor: miodzio1988 » 12 lut 2010, o 18:03

loonatic, wszystko jest ok

loonatic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 6 sty 2008, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wieruszów
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 7 razy

Równania macierzowe

Post autor: loonatic » 12 lut 2010, o 18:04

Dzięki miodzio!

ymiatacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 5 lis 2010, o 23:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

Równania macierzowe

Post autor: ymiatacz » 6 lis 2010, o 00:12

Hej,
Mam jedno zadanie do rozwiązania, jest strasznie trudne a mam jutro poprawę. Mógłby ktoś mi pomóc?

b) AX=C

A=[ 4 0 3]
[ 4 -1 5]

C=[2 1]
[1 1]

Sory, że taki zapis ale dopiero się tutaj zarejestrowałem i nie ogarniam

Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Równania macierzowe

Post autor: Quaerens » 6 lis 2010, o 09:15

Wyżej już napisano nie można dzielić macierzy dlatego:

\(\displaystyle{ AX = C / \cdot A^{-1} \\ A^{-1} \cdot A \cdot X = C \cdot A^{-1} \\ I \cdot X = C \cdot A^{-1}}\)

I ma takie znaczenie w mnożeniu macierzy jak liczba 1, nie wnosi nic, ale lewostronnie mnożyłem przez macierz odwrotną do A.

\(\displaystyle{ A^{-1}=\frac{1}{detA} \cdot A^{T}_{D}}\)

\(\displaystyle{ A^{T}_{D}}\) - macierz odwrotna dopełnień algebraicznych.

Pozdrawiam!

pawelsuz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 15 gru 2008, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BK
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 40 razy

Równania macierzowe

Post autor: pawelsuz » 9 lis 2010, o 20:46

damianplflow pisze::

\(\displaystyle{ AX = C / \cdot A^{-1} \\ A^{-1} \cdot A \cdot X = C \cdot A^{-1} \\ I \cdot X = C \cdot A^{-1}}\)
Domnożyłeś z lewej strony więc chyba powinno być \(\displaystyle{ IX=A^{-1} \cdot C}\)

Awatar użytkownika
Quaerens
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2489
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 439 razy
Pomógł: 181 razy

Równania macierzowe

Post autor: Quaerens » 9 lis 2010, o 21:35

Zgadza się.

glebor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 4 lis 2015, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równania macierzowe

Post autor: glebor » 6 gru 2015, o 19:48

Witam. Znalazłem ten temat i przeanalizowałem powyższe przypadki, jednak chciałbym się upewnić, czy to zadanie jest dobrze:
\(\displaystyle{ 2X-XA+ B^{T}=8C}\)

Rozpisałem to tak:

\(\displaystyle{ 2X-XA \cdot A^{-1}+B^{T}=8C \cdot A^{-1}}\)

\(\displaystyle{ 2X-X \cdot I + B^{T}=8C \cdot A^{-1}}\)

\(\displaystyle{ 2X-X=8C \cdot A^{-1}-B^{T}}\)

więc wyszło, że
\(\displaystyle{ X=8C \cdot A^{-1}-B^{T}}\)

Czy dobrze jest to rozpisane?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19579
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 3323 razy

Równania macierzowe

Post autor: a4karo » 6 gru 2015, o 20:55

To się t nie trzyma kupy nawet gdy \(\displaystyle{ A,B,C,X}\) są liczbami.

Wsk \(\displaystyle{ 2X=2IX}\)-- 6 gru 2015, o 20:57 --
ymiatacz pisze:Hej,
Mam jedno zadanie do rozwiązania, jest strasznie trudne a mam jutro poprawę. Mógłby ktoś mi pomóc?

b) AX=C

A=[ 4 0 3]
[ 4 -1 5]

C=[2 1]
[1 1]

Sory, że taki zapis ale dopiero się tutaj zarejestrowałem i nie ogarniam

"Rozwiąznie, które dostałęs jest oczywiście do niczego, bo macierz \(\displaystyle{ A}\) ne jest kwadratowa, więc \(\displaystyle{ A^{-1}}\) nie istnieje.
Wyznacz jaki wymiar musi mieć macierz \(\displaystyle{ X}\) i napisz ukłąd równań liniowych newidomymi, które są jej elementami.

glebor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 4 lis 2015, o 14:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równania macierzowe

Post autor: glebor » 7 gru 2015, o 20:29

dobra, widzę gdzie jest błąd:
powinno być:

\(\displaystyle{ x(2-A)+B^{T}=8C}\)

\(\displaystyle{ X=\frac{8C-B^{T}}{2-A}}\)

ODPOWIEDZ