rząd
: 27 lip 2007, o 00:42
udowodnić:
\(\displaystyle{ r(A+B)\leqslant r[A|B] qslant r(A)+r(B)\\ r(AB) qslant min (r(A),r(B))}\)
\(\displaystyle{ r(A+B)\leqslant r[A|B] qslant r(A)+r(B)\\ r(AB) qslant min (r(A),r(B))}\)
Zauwaz, ze \(\displaystyle{ dim(Im (AB)) qslant dim(Im (A))}\) oraz \(\displaystyle{ dim(Im (AB)) qslant dim(Im (B))}\) (bo \(\displaystyle{ Im (AB) Im (A)}\) oraz \(\displaystyle{ Ker (B) Ker(AB)}\)), co pociaga nierownosci \(\displaystyle{ rk(AB) qslant rk(A)}\) oraz \(\displaystyle{ rk(AB) qslant rk(B)}\).
Wobec tego druga nierownosc mamy zalatwiona.
Nastepnie \(\displaystyle{ Im (A+B) Im(A)\oplusIm(B) dim(Im (A+B)) qslant dim(Im(A))+dim(Im(B)) rk(A+B) qslant rk(A)+rk(B)}\).
P.S. Co to jest \(\displaystyle{ r[A|B]}\)?