Strona 1 z 2
wartości własne i wektory własne
: 4 wrz 2011, o 15:25
autor: anetaaneta1
Obliczyć wektory własne i wartości własne macierzy określonych nad ciałem liczb zespolonych
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}5& 6&-3 \\ -1&0&1 \\ 1&2&-1 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}0& a& \\ -a&0& \end{bmatrix}}\)
mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak to się liczy bo tam są liczby zespolone.
Wiem jak się wylicza wartości własne i wektory własne ale nie wiem jak z liczbami zespolonymi bo wynik mi nie wychodzi
wartości własne i wektory własne
: 4 wrz 2011, o 15:36
autor: Piotr Pstragowski
Dokładnie tak samo. Wartości własne to pierwiastki wielomianu charakterystycznego.
wartości własne i wektory własne
: 4 wrz 2011, o 15:40
autor: anetaaneta1
ale w tym drugim przykładzie wyliczyłam wyznacznik i wyszegł mi \(\displaystyle{ \lambda^{2}+a^{2}}\)i jak mam wyliczyć to \(\displaystyle{ \lambda}\) bo w odpowiedziach jest wynik \(\displaystyle{ \lambda=ai}\) lub \(\displaystyle{ \lambda=-ai}\)
wartości własne i wektory własne
: 4 wrz 2011, o 15:45
autor: ares41
\(\displaystyle{ \lambda^{2}+a^{2}=0 \\\lambda^{2}=-a^{2}\\\lambda= \sqrt{-a^2} \vee \lambda= -\sqrt{-a^2} \\\lambda=a \sqrt{-1} \vee \lambda= -a\sqrt{-1} \\\lambda=ai \vee \lambda= -ai}\)
pozdrawiam
wartości własne i wektory własne
: 4 wrz 2011, o 15:55
autor: anetaaneta1
a jak teraz te wektory wyliczyć???
wartości własne i wektory własne
: 4 wrz 2011, o 21:22
autor: bartek118
Jaka jest definicja wektora własnego należącego do danej wartości własnej?
wartości własne i wektory własne
: 4 wrz 2011, o 21:29
autor: anetaaneta1
podstawiamy za \(\displaystyle{ \lambda}\) pierwszą wartość do macierzy i mnożymy przez macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x_1& \\ x_2& \end{bmatrix}}\) i przyrównujemy do zera ale niewiem potem jak wyliczyć to \(\displaystyle{ x_1 i x_2}\)
wartości własne i wektory własne
: 4 wrz 2011, o 21:34
autor: bartek118
no to zrób tak - wymnóż te macierze i wyjdzie Ci układ równań
wartości własne i wektory własne
: 4 wrz 2011, o 21:41
autor: anetaaneta1
wyszły mi 2 równanie \(\displaystyle{ -aix_1+ax_2=0 i -ax_1-aix_2=0}\) i po wyliczeniu wyszło mi żę \(\displaystyle{ x_1=0 a x_2=-ix_1}\) a w odpowiedziach jest wynik \(\displaystyle{ x_1=c(1,i) x_2=c(1,-i) c\inC}\)
wartości własne i wektory własne
: 4 wrz 2011, o 21:43
autor: bartek118
To powinno być tak:
\(\displaystyle{ A\cdot \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \lambda \cdot \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}}\)
wartości własne i wektory własne
: 4 wrz 2011, o 21:51
autor: anetaaneta1
ale ja liczyłam z definicji \(\displaystyle{ AX= \lambda X}\)
\(\displaystyle{ (A- \lambda I)X=0}\)
i wyliczyłam macierz\(\displaystyle{ (A- \lambda I)}\) mnoże ją przez \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}}\) i przyrównuje do zera
nie można tak ???
wartości własne i wektory własne
: 4 wrz 2011, o 21:55
autor: bartek118
Ale to chyba nie ta definicja. Podałem przed chwilą definicję
wartości własne i wektory własne
: 4 wrz 2011, o 21:59
autor: anetaaneta1
a ta jest zał ??? bo na ćwiczeniach tak liczyliśmy
tylko w tym zadaniu mam problem z liczbami zespolonymi
wartości własne i wektory własne
: 4 wrz 2011, o 22:00
autor: bartek118
Na liczbach zespolonych liczy się tak samo jak na rzeczywistych wszystko właściwie, trzeba tylko uwzględniać, że \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\)
wartości własne i wektory własne
: 4 wrz 2011, o 22:03
autor: anetaaneta1
anetaaneta1 pisze:ale ja liczyłam z definicji \(\displaystyle{ AX= \lambda X}\)
\(\displaystyle{ (A- \lambda I)X=0}\)
i wyliczyłam macierz\(\displaystyle{ (A- \lambda I)}\) mnoże ją przez \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}}\) i przyrównuje do zera
nie można tak ???
A to rozumowanie jest złe ???