wartości własne i wektory własne

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

wartości własne i wektory własne

Post autor: anetaaneta1 » 4 wrz 2011, o 15:25

Obliczyć wektory własne i wartości własne macierzy określonych nad ciałem liczb zespolonych

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}5& 6&-3 \\ -1&0&1 \\ 1&2&-1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}0& a& \\ -a&0& \end{bmatrix}}\)

mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak to się liczy bo tam są liczby zespolone.
Wiem jak się wylicza wartości własne i wektory własne ale nie wiem jak z liczbami zespolonymi bo wynik mi nie wychodzi

Piotr Pstragowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

wartości własne i wektory własne

Post autor: Piotr Pstragowski » 4 wrz 2011, o 15:36

Dokładnie tak samo. Wartości własne to pierwiastki wielomianu charakterystycznego.

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

wartości własne i wektory własne

Post autor: anetaaneta1 » 4 wrz 2011, o 15:40

ale w tym drugim przykładzie wyliczyłam wyznacznik i wyszegł mi \(\displaystyle{ \lambda^{2}+a^{2}}\)i jak mam wyliczyć to \(\displaystyle{ \lambda}\) bo w odpowiedziach jest wynik \(\displaystyle{ \lambda=ai}\) lub \(\displaystyle{ \lambda=-ai}\)

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

wartości własne i wektory własne

Post autor: ares41 » 4 wrz 2011, o 15:45

\(\displaystyle{ \lambda^{2}+a^{2}=0 \\\lambda^{2}=-a^{2}\\\lambda= \sqrt{-a^2} \vee \lambda= -\sqrt{-a^2} \\\lambda=a \sqrt{-1} \vee \lambda= -a\sqrt{-1} \\\lambda=ai \vee \lambda= -ai}\)

pozdrawiam

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

wartości własne i wektory własne

Post autor: anetaaneta1 » 4 wrz 2011, o 15:55

a jak teraz te wektory wyliczyć???

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

wartości własne i wektory własne

Post autor: bartek118 » 4 wrz 2011, o 21:22

Jaka jest definicja wektora własnego należącego do danej wartości własnej?

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

wartości własne i wektory własne

Post autor: anetaaneta1 » 4 wrz 2011, o 21:29

podstawiamy za \(\displaystyle{ \lambda}\) pierwszą wartość do macierzy i mnożymy przez macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x_1& \\ x_2& \end{bmatrix}}\) i przyrównujemy do zera ale niewiem potem jak wyliczyć to \(\displaystyle{ x_1 i x_2}\)

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

wartości własne i wektory własne

Post autor: bartek118 » 4 wrz 2011, o 21:34

no to zrób tak - wymnóż te macierze i wyjdzie Ci układ równań

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

wartości własne i wektory własne

Post autor: anetaaneta1 » 4 wrz 2011, o 21:41

wyszły mi 2 równanie \(\displaystyle{ -aix_1+ax_2=0 i -ax_1-aix_2=0}\) i po wyliczeniu wyszło mi żę \(\displaystyle{ x_1=0 a x_2=-ix_1}\) a w odpowiedziach jest wynik \(\displaystyle{ x_1=c(1,i) x_2=c(1,-i) c\inC}\)

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

wartości własne i wektory własne

Post autor: bartek118 » 4 wrz 2011, o 21:43

To powinno być tak:

\(\displaystyle{ A\cdot \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \lambda \cdot \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}}\)

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

wartości własne i wektory własne

Post autor: anetaaneta1 » 4 wrz 2011, o 21:51

ale ja liczyłam z definicji \(\displaystyle{ AX= \lambda X}\)
\(\displaystyle{ (A- \lambda I)X=0}\)
i wyliczyłam macierz\(\displaystyle{ (A- \lambda I)}\) mnoże ją przez \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}}\) i przyrównuje do zera
nie można tak ???
Ostatnio zmieniony 4 wrz 2011, o 21:58 przez anetaaneta1, łącznie zmieniany 3 razy.

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

wartości własne i wektory własne

Post autor: bartek118 » 4 wrz 2011, o 21:55

Ale to chyba nie ta definicja. Podałem przed chwilą definicję

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

wartości własne i wektory własne

Post autor: anetaaneta1 » 4 wrz 2011, o 21:59

a ta jest zał ??? bo na ćwiczeniach tak liczyliśmy
tylko w tym zadaniu mam problem z liczbami zespolonymi

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5970
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

wartości własne i wektory własne

Post autor: bartek118 » 4 wrz 2011, o 22:00

Na liczbach zespolonych liczy się tak samo jak na rzeczywistych wszystko właściwie, trzeba tylko uwzględniać, że \(\displaystyle{ i^{2}=-1}\)

anetaaneta1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 3 lis 2010, o 17:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 316 razy
Pomógł: 1 raz

wartości własne i wektory własne

Post autor: anetaaneta1 » 4 wrz 2011, o 22:03

anetaaneta1 pisze:ale ja liczyłam z definicji \(\displaystyle{ AX= \lambda X}\)
\(\displaystyle{ (A- \lambda I)X=0}\)
i wyliczyłam macierz\(\displaystyle{ (A- \lambda I)}\) mnoże ją przez \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}}\) i przyrównuje do zera
nie można tak ???
A to rozumowanie jest złe ???

ODPOWIEDZ