Matematyka.pl

Prosze o pomoc w wyznaczeniu bazy przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) utworzona przez wektory własne macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&-2\\1&2&1\\1&0&3\end{array}\right]}\)

Liczymy wyznacznik:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}-\lambda &0&-2\\1&2-\lambda &1\\1&0&3- \lambda \end{array}\right| = (1- \lambda ) (2- \lambda )^2}\)

skąd dostajemy dwie wartości własne, jeden i dwa.
Obliczamy teraz jakie wektory własne im odpowiadają:
\(\displaystyle{ \lambda =1}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1 &0&-2\\1&1 &1\\1&0&2 \end{array}\right] ft[ \begin{array}{c}x\\ y \\ z \end{array}\right] = ft[ \begin{array}{c}0\\ 0 \\ 0 \end{array}\right]}\)

Wyjdzie: \(\displaystyle{ (-2a,a,a) = a(-2,1,1)}\)

\(\displaystyle{ \lambda =2}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2 &0&-2\\1&0 &1\\1&0&1 \end{array}\right] ft[ \begin{array}{c}x\\ y \\ z \end{array}\right] = ft[ \begin{array}{c}0\\ 0 \\ 0 \end{array}\right]}\)

Wyjdzie: \(\displaystyle{ (b,c,-b) = b(1,0,-1) + c(0,1,0)}\)

Stąd wektory własne \(\displaystyle{ (-2,1,1), (1,0,-1) , (0,1,0)}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ R^3}\).

Q.