wyznaczenie bazy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
h3X
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 21 paź 2008, o 12:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 16 razy

wyznaczenie bazy

Post autor: h3X » 8 sty 2009, o 11:13

Prosze o pomoc w wyznaczeniu bazy przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) utworzona przez wektory własne macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&-2\\1&2&1\\1&0&3\end{array}\right]}\)

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

wyznaczenie bazy

Post autor: » 9 sty 2009, o 00:29

Liczymy wyznacznik:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}-\lambda &0&-2\\1&2-\lambda &1\\1&0&3- \lambda \end{array}\right| = (1- \lambda ) (2- \lambda )^2}\)

skąd dostajemy dwie wartości własne, jeden i dwa.
Obliczamy teraz jakie wektory własne im odpowiadają:
\(\displaystyle{ \lambda =1}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1 &0&-2\\1&1 &1\\1&0&2 \end{array}\right] ft[ \begin{array}{c}x\\ y \\ z \end{array}\right] = ft[ \begin{array}{c}0\\ 0 \\ 0 \end{array}\right]}\)

Wyjdzie: \(\displaystyle{ (-2a,a,a) = a(-2,1,1)}\)

\(\displaystyle{ \lambda =2}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2 &0&-2\\1&0 &1\\1&0&1 \end{array}\right] ft[ \begin{array}{c}x\\ y \\ z \end{array}\right] = ft[ \begin{array}{c}0\\ 0 \\ 0 \end{array}\right]}\)

Wyjdzie: \(\displaystyle{ (b,c,-b) = b(1,0,-1) + c(0,1,0)}\)

Stąd wektory własne \(\displaystyle{ (-2,1,1), (1,0,-1) , (0,1,0)}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ R^3}\).

Q.

ODPOWIEDZ