Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \{z\in\CC:\Im(z^{3})\leqslant0\}}\)

huh? czy ktoś mógły porobić stosowne obliczenia?

Może z de Moivre'a:
\(\displaystyle{ z = |z| (\sin \varphi+i\cos\varphi) \\
z^3 = |z|^3 (\sin 3 \varphi+i\cos 3 \varphi) \Rightarrow \cos 3 \varphi \le 0}\)

racja.. tylko jak to teraz narysować.. bo chyba nie sam wykres cos3x i zaznczyć, że mniejszy równy 0

No pewnie że nie .
A tak w ogóle to źle napisałem ten wzór...
Jeśli masz to naszkicawać to może lepiej skorzystać z zapisu \(\displaystyle{ z=x+iy}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ z^3=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3) \Rightarrow y(3x^2-y^2)\le 0}\)
Zatem gdy:
\(\displaystyle{ y\le 0}\) to \(\displaystyle{ x \in \left(-\infty,\frac{y}{\sqrt{3}} \right>\cup\left< -\frac{y}{\sqrt{3}}, +\infty\right)}\)
\(\displaystyle{ y > 0}\) to \(\displaystyle{ x \in \left< -\frac{y}{\sqrt{3}}, \frac{y}{\sqrt{3}} \right>}\)
A to już można łatwo narysować (w sumie dwie proste i zaznaczyć obszary).

ok

a teraz jeszcze takie coś:

\(\displaystyle{ \{z\in\CC: z^{4} = (1+2j)^{8}\}}\)

po obliczeniach wychodzi mi z=-3+4i
mozna jeszcze prawą stronę przerzucić na lewą, zeby zostało 1 po prawej stronie. Jedynkę zamienić na postać tryg... ale nie wiem jak to narysować dokładnie..

\(\displaystyle{ z^{4}-(1+2j)^{8}=0\\
(z^{2}-(1+2j)^{4})(z^{2}+(1+2j)^{4})=0\\
(z-(1+2j)^{2})(z+(1+2j)^{2})(z-(1+2j)^{2}j)(z+(1+2j)^{2}j)=0\\
z_{1}=(1+2j)^{2}\\
z_{2}=-(1+2j)^{2}\\
z_{3}=(1+2j)^{2}j=...\\
z_{4}=-(1+2j)^{2}j=...\\}\)
i teraz to tylko doprowadzić do postaci: \(\displaystyle{ z=a+bj}\)