Matematyka.pl

\(\displaystyle{ Z^{2011}}\) dla liczby zespolonej \(\displaystyle{ Z= \frac{ \sqrt{2} }{2} - i\frac{ \sqrt{2} }{2}}\).

Oraz znaleźć pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ Z^{2} + 7Z + 13}\).

Mam problem z obliczeniem właśnie kąta tej liczby wiem, że trzeba skorzystać ze wzoru :

\(\displaystyle{ Z=|Z|^{N} ( \cos N \theta +i\sin N \theta )}\)

Wiem też, że jest to obrót w układzie współrzędnych o ten pewien kąt.

Proszę o pokierowanie mnie na właściwą drogę.

Oblicz \(\displaystyle{ \left| Z\right|}\), a następnie wyciągnij go przed nawias. W nawiasie będziesz miał wartości funkcji trygonometrycznych dla argumentu liczby \(\displaystyle{ Z}\).

najlepiej obliczyć kąt rysując go na płaszczyźnie zespolonej

\(\displaystyle{ |Z|}\) po obliczeniu ze wzoru \(\displaystyle{ |Z|= \sqrt{ \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) ^{2} + \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) ^{2} }}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\).

I co muszę następnie zrobic ? Jak wiadomo \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) to jest kąt 45 stopni. I w jakiej postaci muszę to zostawić?

1.
\(\displaystyle{ z=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{7}{4}\pi+i \sin \frac{7}{4}\pi}\)

\(\displaystyle{ z^{2011}=\cos \left( 2011\cdot\frac{7}{4}\pi \right) +i \sin \left( 2011\cdot\frac{7}{4}\pi \right) =\\=\cos \left( 1759\cdot2\pi+\frac{5}{4}\pi \right) +i \sin \left( 1759\cdot2\pi+\frac{5}{4}\pi \right) =\\=\cos \frac{5}{4}\pi+i \sin \frac{5}{4}\pi=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

-- 28 cze 2011, o 17:42 --

2.
\(\displaystyle{ z^2+7z+13=0\\\Delta=49-52=-3\\\sqrt{\Delta}=a+bi\\ \left( a+bi \right) ^2=-3\\a^2+2abi-b^2=-3\\ \begin{cases} 2ab=0 \\ a^2-b^2=-3 \end{cases} \\ \begin{cases} a=0 \\ b^2=3 \end{cases} \ \vee\ \begin{cases} b=0 \\ a^2=-3 \end{cases} \\\sqrt{\Delta}= \mp \sqrt{3}i}\)

\(\displaystyle{ z_1=\frac{-7-\sqrt{3}i}{2}\ \vee\ z_2=\frac{-7+\sqrt{3}i}{2}}\)