Obliczyc potęgę liczby zespolonej.

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Wolframe
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 28 cze 2011, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biłgoraj
Podziękował: 1 raz

Obliczyc potęgę liczby zespolonej.

Post autor: Wolframe » 28 cze 2011, o 17:24

\(\displaystyle{ Z^{2011}}\) dla liczby zespolonej \(\displaystyle{ Z= \frac{ \sqrt{2} }{2} - i\frac{ \sqrt{2} }{2}}\).

Oraz znaleźć pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ Z^{2} + 7Z + 13}\).

Mam problem z obliczeniem właśnie kąta tej liczby wiem, że trzeba skorzystać ze wzoru :

\(\displaystyle{ Z=|Z|^{N} ( \cos N \theta +i\sin N \theta )}\)

Wiem też, że jest to obrót w układzie współrzędnych o ten pewien kąt.

Proszę o pokierowanie mnie na właściwą drogę.
Ostatnio zmieniony 28 cze 2011, o 19:04 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX-u.

Majeskas
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1455
Rejestracja: 14 gru 2007, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 198 razy

Obliczyc potęgę liczby zespolonej.

Post autor: Majeskas » 28 cze 2011, o 17:28

Oblicz \(\displaystyle{ \left| Z\right|}\), a następnie wyciągnij go przed nawias. W nawiasie będziesz miał wartości funkcji trygonometrycznych dla argumentu liczby \(\displaystyle{ Z}\).

Awatar użytkownika
alfgordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2176
Rejestracja: 10 lis 2010, o 13:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 379 razy

Obliczyc potęgę liczby zespolonej.

Post autor: alfgordon » 28 cze 2011, o 17:28

najlepiej obliczyć kąt rysując go na płaszczyźnie zespolonej

Wolframe
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 28 cze 2011, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biłgoraj
Podziękował: 1 raz

Obliczyc potęgę liczby zespolonej.

Post autor: Wolframe » 28 cze 2011, o 17:35

\(\displaystyle{ |Z|}\) po obliczeniu ze wzoru \(\displaystyle{ |Z|= \sqrt{ \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) ^{2} + \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \right) ^{2} }}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\).

I co muszę następnie zrobic ? Jak wiadomo \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) to jest kąt 45 stopni. I w jakiej postaci muszę to zostawić?
Ostatnio zmieniony 28 cze 2011, o 19:03 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów.

irena_1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 496
Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 122 razy

Obliczyc potęgę liczby zespolonej.

Post autor: irena_1 » 28 cze 2011, o 17:38

1.
\(\displaystyle{ z=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{7}{4}\pi+i \sin \frac{7}{4}\pi}\)

\(\displaystyle{ z^{2011}=\cos \left( 2011\cdot\frac{7}{4}\pi \right) +i \sin \left( 2011\cdot\frac{7}{4}\pi \right) =\\=\cos \left( 1759\cdot2\pi+\frac{5}{4}\pi \right) +i \sin \left( 1759\cdot2\pi+\frac{5}{4}\pi \right) =\\=\cos \frac{5}{4}\pi+i \sin \frac{5}{4}\pi=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

-- 28 cze 2011, o 17:42 --

2.
\(\displaystyle{ z^2+7z+13=0\\\Delta=49-52=-3\\\sqrt{\Delta}=a+bi\\ \left( a+bi \right) ^2=-3\\a^2+2abi-b^2=-3\\ \begin{cases} 2ab=0 \\ a^2-b^2=-3 \end{cases} \\ \begin{cases} a=0 \\ b^2=3 \end{cases} \ \vee\ \begin{cases} b=0 \\ a^2=-3 \end{cases} \\\sqrt{\Delta}= \mp \sqrt{3}i}\)

\(\displaystyle{ z_1=\frac{-7-\sqrt{3}i}{2}\ \vee\ z_2=\frac{-7+\sqrt{3}i}{2}}\)
Ostatnio zmieniony 28 cze 2011, o 19:03 przez ares41, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Skalowanie nawiasów. Proszę zapoznać się z pkt. 2.7 instrukcji LaTeX-u.

ODPOWIEDZ