Wyliczyć pierwiastki wielomianu

[kkonrad]

Mam rozwiązać pierwiastki wielomianu:
\(\displaystyle{ z^{2}+i-1=0}\)
\(\displaystyle{ z=\sqrt{1-i}}\)

No to muszę wyliczyć ten pierwiastek, więc obliczam moduł z tej liczby:

\(\displaystyle{ z = 1-i}\)

\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \cos\Phi = \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin\Phi = -\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Na to \(\displaystyle{ \Phi = \frac{7\Pi}{4}}\)

I teraz:
\(\displaystyle{ z_{0} = \sqrt{2}(\cos \frac{7\Pi}{8} + i\sin \frac{7\Pi}{8})}\)

I teraz pytanie jak wyliczyć takiego sinusa i cosinusa?

[BettyBoo]

Najlepiej to zrobić tak:

\(\displaystyle{ \sqrt{1-i}=x+iy\ \Rightarrow \ 1-i=x^2-y^2+2xyi\ \Rightarrow ...}\)

Pozdrawiam.

[kkonrad]

Tak, to też jeden ze sposobów. Czyli jak mi wychodzi dziwny cosinus i sinus to wtedy kombinować inaczej tak?

[BettyBoo]

Generalnie dla pierwiastków kwadratowych lepiej tak kombinować - zwykle tam argumenty nieciekawe wychodzą. A najlepiej to zapamiętać wzór, który z tej metody wynika (wyprowadzony np tutaj).

Pozdrawiam.

[Kondrus]

\(\displaystyle{ z_{0} = \sqrt{2}(\cos \frac{7\Pi}{8} + i\sin \frac{7\Pi}{8})}\)

Można rozpisać:

\(\displaystyle{ z_{0} = \sqrt{2}(\cos( \pi -\frac{\Pi}{8}) + i\sin(\pi- \frac{\Pi}{8}))}\)

Takie wartości masz już w tablicach

[BettyBoo]

Kondrus, \(\displaystyle{ cos\frac{\pi}{8}=..?}\)

Pozdrawiam.

[Kondrus]

Kondrus, \(\displaystyle{ cos\frac{\pi}{8}=..?}\)

Pozdrawiam.

W książce, tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne (Pełno Unii Europejskiej na uczelniach i rozdają jakieś książeczki )
Przechodząc do sedna sprawy"

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{8} = 22^o30'}\)
\(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{8}= \frac{ \sqrt{2- \sqrt{} 2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{8}= \frac{ \sqrt{2+ \sqrt{} 2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \tg \frac{\pi}{8}= \sqrt{2} -1}\)

\(\displaystyle{ \ctg \frac{\pi}{8}= \sqrt{2} +1}\)

[BettyBoo]

Heh, można i tak, ale może we Wrocławiu nie rozdają książeczek i nie pozwalają z nich korzystać na wszystkich kolokwiach?

Pozdrawiam.

[Dudas]

Można też wyprowadzić, jednak w takim zadaniu mija się to z celem :
\(\displaystyle{ cos(\frac {\pi}{4}) = cos(2 \frac{\pi}{8}) = 2cos^2(\frac {\pi}{8}) - 1 \Rightarrow cos^2(\frac {\pi}{8}) = \frac {1}{2}(\frac {\sqrt{2}}{2} +1}) \Rightarrow cos(\frac {\pi}{8}) = \pm \frac {\sqrt {\sqrt{2}+2}}{2}}\)

[Kondrus]

Wiadomo, że nie można korzystać... ale w domu ma się pełen asortyment

[jarzabek89]

Dudas, dlaczego +- ?? Cosinus w pierwszej ćwiartce jest dodatni więc sam plus

[Dudas]

Oczywiście, że tak - mój błąd, już koryguję