szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna
PostNapisane: 10 gru 2006, o 17:16 
Gość Specjalny

Posty: 5404
Lokalizacja: a z Limanowej
Czasem przy obliczaniu pierwiastków kwadratowych z liczb zespolonych za pomocą wzoru de Moivre'a natrafiamy na problem dokładności wyznaczenia argumentu, gdy jego sinus i cosinus nie wyrażają się znanymi wartościami. I w takim przypadku dobrze jest znać wzory algebraiczne na owe pierwiastki kwadratowe.

Niech z = x + yi. Z teorii wiemy, że istnieją zawsze dwa pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej. Dlatego przez symbol \sqrt{z} będziemy rozumieli zbiór dwuelementowy, złożony z dwóch pierwiastków zespolonych z liczby z. Natomiast symbol \sqrt{a} \hbox{, gdzie } a \in \mathbb{R}_{+} rozumieć będziemy jako pierwiastek arytmetyczny.
Szukamy pierwiastka z liczby z, czyli takiej liczby zespolonej, której kwadrat jest równy z.
Stąd mamy równanie: x+yi = (a+bi)^{2}, czyli x + yi = a^{2} - b^{2} + 2abi. Dwie liczby zespolone są równe, jeśli ich części rzeczywiste i urojone są odpowiednio równe, więc mamy układ równań:
\begin{cases} a^{2} - b^{2} = x \\ 2ab = y \end{cases}
Gdy y jest równy 0 mamy do czynienia z pierwiastkiem z liczby rzeczywistej.
Jeśli więc x jest nieujemny, to \sqrt{z} = \{ \sqrt{x}, -\sqrt{x} \}.
Gdy x jest ujemny, to z definicji liczby i otrzymujemy \sqrt{z} = \{ \sqrt{|x|}i, -\sqrt{|x|}i \}

Załóżmy dalej, że y jest niezerowy, wtedy a jest różne od 0 i b jest różne od 0:
b = \frac{y}{2a} i wstawmy to do pierwszego równania:

a^{2} - \frac{y^{2}}{4a^{2}} = x

Uprośćmy sobie rozwiązywanie i podstawmy zmienną pomocniczą \hbox{ } t := a^{2}, która oczywiście musi być dodatnia, mamy wtedy:

t - \frac{y^{2}}{4t} = x \ / \cdot t \\ \\  t^{2} - xt - \frac{y^{2}}{4} = 0 \\ \\ \Delta = x^{2} + y^{2}

Widzimy, że wyróżnik jest zawsze dodatni przy tych warunkach, więc liczymy pierwiastki:

t_{1} = \frac{x-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}, \ t_{2} = \frac{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}

Nie trzeba chyba nikogo bardzo mocno przekonywać, by uwierzył, że pierwszy pierwiastek jest ujemny zawsze, zaś drugi zawsze dodatni?
Stąd też
a^{2} = \frac{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2} \\ \\ a = \pm \sqrt{\frac{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}}

Z pierwszego równania wyliczamy, że b^{2} = a^{2} - x, czyli

b^{2} = \frac{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2} - x = \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2} \\ \\ b =\pm \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}}

Mamy więc wyznaczone możliwości wartości a i b, jednak natrafiamy na kłopot - z tego, co wyliczyliśmy, możemy otrzymać cztery różne pierwiastki: część rzeczywista i urojona dodatnia, ujemna, rzeczywista dodatnia, urojona ujemna i odwrotnie. Mamy jednak dobre remedium na takowy kłopot. Patrząc na sam początek, na pierwotny układ równań, widzimy , że 2ab = y. Więc jeśli y jest dodatni, to a i b muszą być jednakowych znaków, jeśli zaś y jest ujemny, to bierzemy a i b z przeciwnymi znakami.
Aby zapisać to bardziej elegancko przyjmijmy:

w := sgn(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}-x}{2}}

Gdzie funkcja sgn(a) (czyt. signum) jest określona nastepująco: \ sgn(a) = \begin{cases} \ \ 1 \hbox{ dla a } > 0 \\ \ \ 0 \hbox{ dla a } = 0 \\ -1 \hbox{ dla a } < 0 \end{cases}

Wtedy też ostatecznie otrzymujemy:

\sqrt{x+yi} = \{ w, -w \}

Przeliczmy jeszcze kilka przykładów, dla większej wprawy i lepszego zapoznania się z metodą.

1. \ z = 1 - 2i \\ \Delta = 5 \\ \\ w = -1 \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}} + i\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}

Mamy więc \sqrt{z} = \left \{ -\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}, \  \sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \right \}

Widzimy więc, że nie można bać się "brzydkich" wyników, bo są one niejako "przewidziane" przez wzory.
Jednak czasem spodziewając się "dużych pierwiastków" możemy zostać mile zaskoczeni:

2. \ z = -1 + i\sqrt{3} \\ \Delta = 1 + 3 = 4 \\ \\ w = 1 \cdot \sqrt{\frac{2 + 1}{2}} + i \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2}}

Zapisując ostatecznie: \sqrt{z} = \left \{ \sqrt{\frac{3}{2}} + i \sqrt{\frac{1}{2}},  \ -\sqrt{\frac{3}{2}} - i \sqrt{\frac{1}{2}} \right \}

Możemy również zostać milej zaskoczeni:

3. \ z = 4 - 2\sqrt{5} i \\ \Delta = 4 + 4 \cdot 5 = 36 \\ \\ w = -1 \cdot \sqrt{\frac{6+4}{2}} + i \sqrt{\frac{6-4}{2}} = -\sqrt{5} + i

Pierwiastki więc należą do zbioru: \sqrt{z} = \left \{ -\sqrt{5} + i, \ \sqrt{5} - i \right \}

Na koniec jeszcze ważny przykład, że wzory nie zawsze są potrzebne:

4. \ z = 3 + 4i \\ \Delta = 25 \\ \\ w = 1 \cdot \sqrt{\frac{5+3}{2}} + i \sqrt{\frac{5-3}{2}} = \sqrt{4} + i \sqrt{1} = 2 + i

Stąd \sqrt{z} = \{ 2+i, \ -2-i \}

Zauważmy jednak, że zapisując wyjściowy układ równań w tym przypadku:
\begin{cases} a^{2} - b^{2} = 3 \\ 2ab = 4 \end{cases}
Rzut oka wystarcza, by stwierdzić, że a = 2 i b = 1 spełniają ten układ i żadnych wzorów nie potrzeba.

Podsumowując - wzory mamy wyprowadzone, wiemy, że działają, jednak nie są one zbyt proste do pamiętania. Z tego też względu radzę wszystkim, którzy mają do czynienia z pierwiastkami z liczb zespolonych, aby zapamiętali sobie początek tego wyprowadzenia, czyli potrafili dojść do układu równań. Rozwiązywanie takich układów nie nastręcza żadnych kłopotów (co idealnie unaocznia ostatni przykład), na końcu natomiast trzeba tylko pamiętać, jak odrzucamy zbędne wyniki.


W razie uwag, propozycji, przemyśleń proszę pisać Prywatne Wiadomości.

[Utworzono: 10 grudnia 2006 o 17:16]
[Ostatnia modyfikacja: 17 lutego 2009 o 19:38]
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2019
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Ciało liczb algebraicznych - zadanie 2  Dasio11  0
 Niedziesiątkowy system zapisu liczb  Anonymous  1
 Równanie kwadratowe.  Anonymous  1
 Wyznacz zbiór par liczb spełniającyh równanie  Anonymous  2
 (3 zadania) Czy istnieją ciagi liczb o własnościach ... ?  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl