Strona 1 z 1
wartości parametru p
: 28 sie 2007, o 19:13
autor: szorell2
Kolejne zadanie które mi nie może "wyjść" dlatego proszę o pomoc:
Dla jakich wartości parametru p wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-3px+9p-27}\) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.
Proszę o dokładne zrobienie bo chce się dowiedzieć gdzie robię błąd
wartości parametru p
: 28 sie 2007, o 21:10
autor: Sylwek
Bardzo ważne w tym zadaniu jest zauważenie, że bez względu od parametru p liczba 3 jest pierwiastkiem W(x). Następnie wykonamy dzielenie wielomianów (lub prościej - korzystamy ze schematu Hornera), co nam daje:
\(\displaystyle{ W(x)=x^3-3px+9p-27=(x-3)(x^2+3x+9-3p)}\)
Oznaczmy sobie drugi nawias przez Q(x). Aby były spełnione warunki zadania, delta musi być większa od zera oraz x=3 nie może być pierwiaskiem Q(x):
\(\displaystyle{ a) \ Q(3) \neq 0 \iff 9+9+9-3p \neq 0 \iff p \neq 9 \iff p \in \mathbb{R}- \lbrace 9 \rbrace \\ b) \ \Delta=9-4 \cdot (9-3p)=12p-27 \\ \Delta > 0 \iff 12p-27>0 \iff p > 2\frac{1}{4} \iff p (2 \frac{1}{4}, + ) \\
Odp: \ x (2 \frac{1}{4},9) \cup (9, + )}\)