wartości parametru p

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
szorell2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 26 sie 2007, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: rzeszów

wartości parametru p

Post autor: szorell2 » 28 sie 2007, o 19:13

Kolejne zadanie które mi nie może "wyjść" dlatego proszę o pomoc:

Dla jakich wartości parametru p wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-3px+9p-27}\) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

Proszę o dokładne zrobienie bo chce się dowiedzieć gdzie robię błąd
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

wartości parametru p

Post autor: Sylwek » 28 sie 2007, o 21:10

Bardzo ważne w tym zadaniu jest zauważenie, że bez względu od parametru p liczba 3 jest pierwiastkiem W(x). Następnie wykonamy dzielenie wielomianów (lub prościej - korzystamy ze schematu Hornera), co nam daje:
\(\displaystyle{ W(x)=x^3-3px+9p-27=(x-3)(x^2+3x+9-3p)}\)

Oznaczmy sobie drugi nawias przez Q(x). Aby były spełnione warunki zadania, delta musi być większa od zera oraz x=3 nie może być pierwiaskiem Q(x):
\(\displaystyle{ a) \ Q(3) \neq 0 \iff 9+9+9-3p \neq 0 \iff p \neq 9 \iff p \in \mathbb{R}- \lbrace 9 \rbrace \\ b) \ \Delta=9-4 \cdot (9-3p)=12p-27 \\ \Delta > 0 \iff 12p-27>0 \iff p > 2\frac{1}{4} \iff p (2 \frac{1}{4}, + ) \\
Odp: \ x (2 \frac{1}{4},9) \cup (9, + )}\)

ODPOWIEDZ