Matematyka.pl

Nie mogę znaleźć pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ x^{3}-6x^{2}-6x+42}\) ani przez znajdowanie dzielnika wyrazu wolnego ani przez grupowanie wyrazów. Próbowałam paroma metodami i mi nie idzie tego zrobić. Ten wielomian ma wogóle pierwiastki?

Ma na pewno jako, że jest wielomianem stp. 3 , lecz nie sa one liczbami wymiernymi.

Tylko ja ich znaleźć nie mogę.

Zatem pozostają tylko wzory Cardano (np. tu ... go_stopnia)

Nic nie ma pod tym odnośnikiem

Zostaw lepiej ten wielomian, pierwiastki są zespolone i bardzo nieładne. Pewnie w ksiażce jakis bład wystąpił.

Nie bardzo mogę to zostawić. Pomagam komuś kto miał do zrobienia 50 zadań w wakacje z wielomianów i wyrażeń wymiernych podanych przez nauczyciela. Wszystkie rozwaliłiśmy a tego nie możemy dlatego proszę o pomoc.

Poprawny link:
... go_stopnia

POZDRO

Heh, ale to była naprawde przyjazna rada z mojej strony. Calasilyar Ci zaproponowal wzory Cardano, są uniwersalne to mozesz z nich próbować. Tam w link mógł sie nawias wmieszać.
... go_stopnia
Tylko jak zaczniesz go rozwiązywać dziś to skonczysz moze jutro...
Jeśli Cie ciekawi to wklejam poniżej wyniki jakie mi wyświetlił Maple, wybacz że nie przepisuje ich do texa ale to juz byłby masochizm.

(-7+I*sqrt(167))^(1/3)+6/(-7+I*sqrt(167))^(1/3)+2, -1/2*(-7+I*sqrt(167))^(1/3)-3/(-7+I*sqrt(167))^(1/3)+2+1/2*I*sqrt(3)*((-7+I*sqrt(167))^(1/3)-6/(-7+I*sqrt(167))^(1/3)), -1/2*(-7+I*sqrt(167))^(1/3)-3/(-7+I*sqrt(167))^(1/3)+2-1/2*I*sqrt(3)*((-7+I*sqrt(167))^(1/3)-6/(-7+I*sqrt(167))^(1/3))
Teraz chyba widzisz że liczenie tego to dramat...

Wybierz sobie dowolny inny wielomian stopnia trzeciego i jego rozwiaż, jak nauczyciel jest rozsądny to nawet słowa nie powie.

Drizzt pisze:Tam w link mógł sie nawias wmieszać.

no i właśnie się wmieszał

Milena pisze:Pomagam komuś kto miał do zrobienia 50 zadań w wakacje z wielomianów i wyrażeń wymiernych podanych przez nauczyciela.

jeżeli miał więcej "takich" zadań, to rzeczywiście musiał być to zestaw na całe wakacje Zrób tak, jak radzi Drizzt i na pewno będzie ok.

Ja te 57 zadań rozwaliłam w jedną noc ale niestety to jedno sprawdziłam na wszystkie znane mi sposoby i ani rusz dalej.
Wszystkim wielkie dzięki ale w .... mam ten wielomian. Niech kobieta sama nad nim ślęczy.
Poza tym doszlam do wniosku, że ktoś kto ma kłopoty z podstawami matematyki, będzie pierwszym podejrzanym jeśli rozwali to cudo na pierwiastki, więc powiedziałam gościowi żeby dał sobie spokój. Tym bardziej, że w liceum nie przerabiali wzorów Cardano a on nawet nie znał wzorów skróconego mnożenia. Ja sama osobiście w wolnej chwili bardzo chętnie rozpracuję ten wielomian bo nie spocznę jak zadanko nie jest rozwiązane.
Jeszcze raz dzięki za pomoc.

Ale Drizzt już podał odpowiedź, pierwiastki tego wielomianu są koszmarnie trudne i nie warte do policzenia. Przepraw dowolną 6 na 7 i wyjdzie wielomian, który już da się łatwo rozwiązać, bo pewnie to prostu błąd w przykładzie, literówka. Bez programu komputerowego liczenie pierwiastków tego wielomianu zajmie Ci z pół godziny (jak nie lepiej) i nic ciekawego nie otrzymasz.

Ach te kobiety, jak się uprą nic ich nie powstrzyma. Może uznałaś że to co wkleilem to są jakieś krzaczki a nie wynik.
To jeszcze raz, mamy 3 pierwiastki naszego wielomianu:
\(\displaystyle{ x_1}\)=(-7+I*sqrt(167))^(1/3)+6/(-7+I*sqrt(167))^(1/3)+2
\(\displaystyle{ x_2}\)=-1/2*(-7+I*sqrt(167))^(1/3)-3/(-7+I*sqrt(167))^(1/3)+2+1/2*I*sqrt(3)*((-7+I*sqrt(167))^(1/3)-6/(-7+I*sqrt(167))^(1/3))
\(\displaystyle{ x_3}\)=-1/2*(-7+I*sqrt(167))^(1/3)-3/(-7+I*sqrt(167))^(1/3)+2-1/2*I*sqrt(3)*((-7+I*sqrt(167))^(1/3)-6/(-7+I*sqrt(167))^(1/3))
Jeszcze legenda:
I - jednostka urojona (znasz liczby zespolone?)
sqrt - pierwiastek kwadratowy
^ - potęgowanie
i to jest ostateczne rozwiązanie Twojego problemu, tu się wiecej nic nie zrobi...

A tam ostateczne - zawsze się można pobawić, by na przykład uzyskać postać, która pozwala obliczyć te pierwiastki w przybliżeniu, mając do dyspozycji kalkulator i tablice trygonometryczne .
Przedstawiają się wzorki na te pierwiastki następująco:

\(\displaystyle{ x_{1} = 2\sqrt{6} \cos \frac{\arccos\frac{7}{6\sqrt{6}}}{3} + 2 \\ x_{2} =-\sqrt{6} \cos \frac{\arccos\frac{7}{6\sqrt{6}}}{3} - 3\sqrt{2} \sin \frac{\arccos\frac{7}{6\sqrt{6}}}{3} + 2 \\ x_{3} = -\sqrt{6} \cos \frac{\arccos\frac{7}{6\sqrt{6}}}{3} + 3\sqrt{2} \sin \frac{\arccos\frac{7}{6\sqrt{6}}}{3} + 2}\)

Mam nadzieję, że nigdzie się nie pomyliłem, ale z pobieżnego rzutu okiem suma pierwiastków się zgadzała .
Ewentualnie, jeśli ktoś chce, to sobie może zrobić bardziej zwięzłą postać dwóch ostatnich pierwiastków, gdyż wiemy, że kombinację liniową sinusa i cosinusa jednego argumentu zawsze możemy zapisać jako rzeczywistą wielokrotność sinusa bądź cosinusa innego argumentu, ale raz, że się mi tutaj już nie chciało, a dwa, że co za dużo arcusów to niezdrowo - te były konieczne