Pierwiastki wielomianu

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Milena
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 124
Rejestracja: 19 paź 2006, o 15:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wołomin
Podziękował: 24 razy

Pierwiastki wielomianu

Post autor: Milena » 28 sie 2007, o 07:47

Nie mogę znaleźć pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ x^{3}-6x^{2}-6x+42}\) ani przez znajdowanie dzielnika wyrazu wolnego ani przez grupowanie wyrazów. Próbowałam paroma metodami i mi nie idzie tego zrobić. Ten wielomian ma wogóle pierwiastki?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

Pierwiastki wielomianu

Post autor: wb » 28 sie 2007, o 07:53

Ma na pewno jako, że jest wielomianem stp. 3 , lecz nie sa one liczbami wymiernymi.

Milena
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 124
Rejestracja: 19 paź 2006, o 15:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wołomin
Podziękował: 24 razy

Pierwiastki wielomianu

Post autor: Milena » 28 sie 2007, o 08:16

Tylko ja ich znaleźć nie mogę.

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Pierwiastki wielomianu

Post autor: Calasilyar » 28 sie 2007, o 08:23

Zatem pozostają tylko wzory Cardano (np. tu http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wna ... go_stopnia)

Milena
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 124
Rejestracja: 19 paź 2006, o 15:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wołomin
Podziękował: 24 razy

Pierwiastki wielomianu

Post autor: Milena » 28 sie 2007, o 08:38

Nic nie ma pod tym odnośnikiem

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Pierwiastki wielomianu

Post autor: Emiel Regis » 28 sie 2007, o 09:13

Zostaw lepiej ten wielomian, pierwiastki są zespolone i bardzo nieładne. Pewnie w ksiażce jakis bład wystąpił.

Milena
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 124
Rejestracja: 19 paź 2006, o 15:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wołomin
Podziękował: 24 razy

Pierwiastki wielomianu

Post autor: Milena » 28 sie 2007, o 09:33

Nie bardzo mogę to zostawić. Pomagam komuś kto miał do zrobienia 50 zadań w wakacje z wielomianów i wyrażeń wymiernych podanych przez nauczyciela. Wszystkie rozwaliłiśmy a tego nie możemy dlatego proszę o pomoc.

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Pierwiastki wielomianu

Post autor: soku11 » 28 sie 2007, o 09:43

Poprawny link:
http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wna ... go_stopnia

POZDRO

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Pierwiastki wielomianu

Post autor: Emiel Regis » 28 sie 2007, o 09:44

Heh, ale to była naprawde przyjazna rada z mojej strony. Calasilyar Ci zaproponowal wzory Cardano, są uniwersalne to mozesz z nich próbować. Tam w link mógł sie nawias wmieszać.
http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wna ... go_stopnia
Tylko jak zaczniesz go rozwiązywać dziś to skonczysz moze jutro...
Jeśli Cie ciekawi to wklejam poniżej wyniki jakie mi wyświetlił Maple, wybacz że nie przepisuje ich do texa ale to juz byłby masochizm.

(-7+I*sqrt(167))^(1/3)+6/(-7+I*sqrt(167))^(1/3)+2, -1/2*(-7+I*sqrt(167))^(1/3)-3/(-7+I*sqrt(167))^(1/3)+2+1/2*I*sqrt(3)*((-7+I*sqrt(167))^(1/3)-6/(-7+I*sqrt(167))^(1/3)), -1/2*(-7+I*sqrt(167))^(1/3)-3/(-7+I*sqrt(167))^(1/3)+2-1/2*I*sqrt(3)*((-7+I*sqrt(167))^(1/3)-6/(-7+I*sqrt(167))^(1/3))
Teraz chyba widzisz że liczenie tego to dramat...

Wybierz sobie dowolny inny wielomian stopnia trzeciego i jego rozwiaż, jak nauczyciel jest rozsądny to nawet słowa nie powie.

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Pierwiastki wielomianu

Post autor: Calasilyar » 28 sie 2007, o 12:34

Drizzt pisze:Tam w link mógł sie nawias wmieszać.
no i właśnie się wmieszał
Milena pisze:Pomagam komuś kto miał do zrobienia 50 zadań w wakacje z wielomianów i wyrażeń wymiernych podanych przez nauczyciela.
jeżeli miał więcej "takich" zadań, to rzeczywiście musiał być to zestaw na całe wakacje Zrób tak, jak radzi Drizzt i na pewno będzie ok.

Milena
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 124
Rejestracja: 19 paź 2006, o 15:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wołomin
Podziękował: 24 razy

Pierwiastki wielomianu

Post autor: Milena » 28 sie 2007, o 21:59

Ja te 57 zadań rozwaliłam w jedną noc ale niestety to jedno sprawdziłam na wszystkie znane mi sposoby i ani rusz dalej.
Wszystkim wielkie dzięki ale w .... mam ten wielomian. Niech kobieta sama nad nim ślęczy.
Poza tym doszlam do wniosku, że ktoś kto ma kłopoty z podstawami matematyki, będzie pierwszym podejrzanym jeśli rozwali to cudo na pierwiastki, więc powiedziałam gościowi żeby dał sobie spokój. Tym bardziej, że w liceum nie przerabiali wzorów Cardano a on nawet nie znał wzorów skróconego mnożenia. Ja sama osobiście w wolnej chwili bardzo chętnie rozpracuję ten wielomian bo nie spocznę jak zadanko nie jest rozwiązane.
Jeszcze raz dzięki za pomoc.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Pierwiastki wielomianu

Post autor: Sylwek » 28 sie 2007, o 23:13

Ale Drizzt już podał odpowiedź, pierwiastki tego wielomianu są koszmarnie trudne i nie warte do policzenia. Przepraw dowolną 6 na 7 i wyjdzie wielomian, który już da się łatwo rozwiązać, bo pewnie to prostu błąd w przykładzie, literówka. Bez programu komputerowego liczenie pierwiastków tego wielomianu zajmie Ci z pół godziny (jak nie lepiej) i nic ciekawego nie otrzymasz.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Pierwiastki wielomianu

Post autor: Emiel Regis » 29 sie 2007, o 00:19

Ach te kobiety, jak się uprą nic ich nie powstrzyma. Może uznałaś że to co wkleilem to są jakieś krzaczki a nie wynik.
To jeszcze raz, mamy 3 pierwiastki naszego wielomianu:
\(\displaystyle{ x_1}\)=(-7+I*sqrt(167))^(1/3)+6/(-7+I*sqrt(167))^(1/3)+2
\(\displaystyle{ x_2}\)=-1/2*(-7+I*sqrt(167))^(1/3)-3/(-7+I*sqrt(167))^(1/3)+2+1/2*I*sqrt(3)*((-7+I*sqrt(167))^(1/3)-6/(-7+I*sqrt(167))^(1/3))
\(\displaystyle{ x_3}\)=-1/2*(-7+I*sqrt(167))^(1/3)-3/(-7+I*sqrt(167))^(1/3)+2-1/2*I*sqrt(3)*((-7+I*sqrt(167))^(1/3)-6/(-7+I*sqrt(167))^(1/3))
Jeszcze legenda:
I - jednostka urojona (znasz liczby zespolone?)
sqrt - pierwiastek kwadratowy
^ - potęgowanie
i to jest ostateczne rozwiązanie Twojego problemu, tu się wiecej nic nie zrobi...

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Pierwiastki wielomianu

Post autor: Rogal » 31 sie 2007, o 00:58

A tam ostateczne - zawsze się można pobawić, by na przykład uzyskać postać, która pozwala obliczyć te pierwiastki w przybliżeniu, mając do dyspozycji kalkulator i tablice trygonometryczne .
Przedstawiają się wzorki na te pierwiastki następująco:

\(\displaystyle{ x_{1} = 2\sqrt{6} \cos \frac{\arccos\frac{7}{6\sqrt{6}}}{3} + 2 \\ x_{2} =-\sqrt{6} \cos \frac{\arccos\frac{7}{6\sqrt{6}}}{3} - 3\sqrt{2} \sin \frac{\arccos\frac{7}{6\sqrt{6}}}{3} + 2 \\ x_{3} = -\sqrt{6} \cos \frac{\arccos\frac{7}{6\sqrt{6}}}{3} + 3\sqrt{2} \sin \frac{\arccos\frac{7}{6\sqrt{6}}}{3} + 2}\)

Mam nadzieję, że nigdzie się nie pomyliłem, ale z pobieżnego rzutu okiem suma pierwiastków się zgadzała .
Ewentualnie, jeśli ktoś chce, to sobie może zrobić bardziej zwięzłą postać dwóch ostatnich pierwiastków, gdyż wiemy, że kombinację liniową sinusa i cosinusa jednego argumentu zawsze możemy zapisać jako rzeczywistą wielokrotność sinusa bądź cosinusa innego argumentu, ale raz, że się mi tutaj już nie chciało, a dwa, że co za dużo arcusów to niezdrowo - te były konieczne

ODPOWIEDZ