Matematyka.pl

mam takie zadanie.

najpierw udowodnic ze liczba naturalna jest podzielna przez 5 wtedy i tylko wtedy jesli jej kwadrat jest podzielny przez 5.

z tym nie ma problemu.

a teraz :
uzywajac w/w dowodu , wykaz ze \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) jest niewymierny.

robie tak

nie wprost:)
zakladam ze jest wymierny czyli \(\displaystyle{ \sqrt{5} = m/n}\) i NWD n i m to 1

podnosze do kwadratu i wymnazam. i mam

\(\displaystyle{ 5n^2=m^2}\) czyli m^2 jest podzielne przez 5 czyli na podstawie w/w twierdzenia jest podzielne przez 5. czyli

\(\displaystyle{ m=\sqrt{5}n}\) czyli zeby m bylo podzielne przez 5 to n musi byc, ale wczensiej powiedzialem ze NWD m i n to 1 wiec
ta da :sprzecznosc:)

czy szanowni państwo widzą tu blad ? bo na pon musze oddac dowód i sie chce upewnic

P.S
wiem ze mozna to jakos udowodnic z liczbami pierwwszymi, ale jeszcze do nich nie doszedlem

Gorąco prosze o odpowiedz

i dziekuje

pzdr
Armania

dowodzik w sumie zgrabny i poprawny ale ja bym tam troszkę inaczej zapisał jednak..
może coś takiego:
mamy:
\(\displaystyle{ 5n^2=m^2}\) czyli m jest podzielne przez 5.. ale z wyższego dowodu mamy iż:
\(\displaystyle{ m=5k}\) gdzie k całkowite oraz NWD(k,m)=1.. podnosząc do kwadratu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ m^2=25k^2}\)
z tego i z pierwszego równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 5n^2=25k^2\iff n^2=5k^2}\) czyli \(\displaystyle{ n^2}\) jest podzielne przez 5.. z powyższego dowodu otrzymujemy że \(\displaystyle{ n}\) również podzielne przez 5..
a z tego, że m i n podzielne przez 5 otrzymujemy sprzeczność z założeniem, że NWD(m,n)=1

chociaż Twój dowód w sumie również poprawny.. ale mógłbyś tam dodać że n podzielne przez 5 dlatego że \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) nie jest podzielne przez 5
no takie w sumie niewielkie różnice.. pozdro