Nierownosc
: 11 paź 2007, o 22:04
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi:
\(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}\geqslant3(a+b-1)}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}\geqslant3(a+b-1)}\)
Przerzucamy wszystko na jedną stronę i mamy:
\(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}-3(a+b-1)\geqslant 0}\)
teraz grupujemy tak, aby zostawić po lewej same kwadraty i po przekształceniach wychodzi, że:
\(\displaystyle{ (a+\frac{b-3}{2})^{2}+\frac{3}{4}(b-1)^{2}\geq 0}\), co oczywiście jest prawdą