Nierownosc

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Marzec91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 24 sie 2007, o 23:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dziwnów

Nierownosc

Post autor: Marzec91 » 11 paź 2007, o 22:04

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi:

\(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}\geqslant3(a+b-1)}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Nierownosc

Post autor: Piotr Rutkowski » 11 paź 2007, o 23:44

Przerzucamy wszystko na jedną stronę i mamy:
\(\displaystyle{ a^{2}+ab+b^{2}-3(a+b-1)\geqslant 0}\)
teraz grupujemy tak, aby zostawić po lewej same kwadraty i po przekształceniach wychodzi, że:
\(\displaystyle{ (a+\frac{b-3}{2})^{2}+\frac{3}{4}(b-1)^{2}\geq 0}\), co oczywiście jest prawdą

ODPOWIEDZ