Ciąg zbieżny w L^p jest jednostajnie całkowalny
: 5 gru 2008, o 12:23
Formalnie zapisując mamy tak:
\(\displaystyle{ Z: p \geqslant 1, X_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} X\\ \\
T: (|X_n|^p) - \mbox{jednostajnie całkowalny}}\)
Jednostajna całkowalność oznacza z df, że:
\(\displaystyle{ \lim \limits_{c \to \infty} \sup \limits_n \int \limits_{\{|X_n| \geqslant c\}}|X_n|^pdP = 0}\)
Co możemy zapisać także:
\(\displaystyle{ \bigwedge_{\varepsilon >0} \bigvee_{c_0} \bigwedge_{c \geqslant c_0} \bigwedge_n \int \limits_{\{|X_n| \geqslant c\}}|X_n|^pdP \leqslant \varepsilon}\)
Czyli ustalając \(\displaystyle{ \varepsilon}\) powinienem znaleźć takie \(\displaystyle{ c_0}\) żeby dla każdego n całka była mniejsza od epsilona. W związku z tym staram się jakoś ją oszacować, np:
\(\displaystyle{ \int_{\{|X_n| \geqslant c\}}|X_n|^pdP \leqslant 2^{p-1}E|X_n-X|^p + 2^{p-1} \int_{\{|X| \geqslant c\}}|X_n|^pdP}\)
jednak nie bardzo mogę dobrać odpowiednie \(\displaystyle{ c_0}\).
Ktoś umie poprawić moją próbę dowodzenia? Albo ew. udowodnić to w inny sposób?
\(\displaystyle{ Z: p \geqslant 1, X_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} X\\ \\
T: (|X_n|^p) - \mbox{jednostajnie całkowalny}}\)
Jednostajna całkowalność oznacza z df, że:
\(\displaystyle{ \lim \limits_{c \to \infty} \sup \limits_n \int \limits_{\{|X_n| \geqslant c\}}|X_n|^pdP = 0}\)
Co możemy zapisać także:
\(\displaystyle{ \bigwedge_{\varepsilon >0} \bigvee_{c_0} \bigwedge_{c \geqslant c_0} \bigwedge_n \int \limits_{\{|X_n| \geqslant c\}}|X_n|^pdP \leqslant \varepsilon}\)
Czyli ustalając \(\displaystyle{ \varepsilon}\) powinienem znaleźć takie \(\displaystyle{ c_0}\) żeby dla każdego n całka była mniejsza od epsilona. W związku z tym staram się jakoś ją oszacować, np:
\(\displaystyle{ \int_{\{|X_n| \geqslant c\}}|X_n|^pdP \leqslant 2^{p-1}E|X_n-X|^p + 2^{p-1} \int_{\{|X| \geqslant c\}}|X_n|^pdP}\)
jednak nie bardzo mogę dobrać odpowiednie \(\displaystyle{ c_0}\).
Ktoś umie poprawić moją próbę dowodzenia? Albo ew. udowodnić to w inny sposób?