Ciąg zbieżny w L^p jest jednostajnie całkowalny

[Emiel Regis]

Formalnie zapisując mamy tak:

\(\displaystyle{ Z: p \geqslant 1, X_n \stackrel{L^p}{\longrightarrow} X\\ \\
T: (|X_n|^p) - \mbox{jednostajnie całkowalny}}\)

Jednostajna całkowalność oznacza z df, że:

\(\displaystyle{ \lim \limits_{c \to \infty} \sup \limits_n \int \limits_{\{|X_n| \geqslant c\}}|X_n|^pdP = 0}\)

Co możemy zapisać także:

\(\displaystyle{ \bigwedge_{\varepsilon >0} \bigvee_{c_0} \bigwedge_{c \geqslant c_0} \bigwedge_n \int \limits_{\{|X_n| \geqslant c\}}|X_n|^pdP \leqslant \varepsilon}\)

Czyli ustalając \(\displaystyle{ \varepsilon}\) powinienem znaleźć takie \(\displaystyle{ c_0}\) żeby dla każdego n całka była mniejsza od epsilona. W związku z tym staram się jakoś ją oszacować, np:

\(\displaystyle{ \int_{\{|X_n| \geqslant c\}}|X_n|^pdP \leqslant 2^{p-1}E|X_n-X|^p + 2^{p-1} \int_{\{|X| \geqslant c\}}|X_n|^pdP}\)

jednak nie bardzo mogę dobrać odpowiednie \(\displaystyle{ c_0}\).

Ktoś umie poprawić moją próbę dowodzenia? Albo ew. udowodnić to w inny sposób?

[Spektralny]

To bardzo interesujący problem. Sądząc po zapisie zgaduję, że chodzi o zmienne losowe na przestrzeni probabilistycznej \(\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{F}, \mathsf P)}\).

Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ p>1}\) nie potrzeba nawet założenia zbieżności w \(\displaystyle{ L_p(\mathsf P)}\) wystarczy zakładać, że ciąg \(\displaystyle{ (X_n)_{n=1}^\infty}\) jest ograniczony, tj. istnieje takie \(\displaystyle{ K\geqslant 0}\), że \(\displaystyle{ \|X_n\|_p \leqslant K}\) dla wszelkich \(\displaystyle{ n}\). Wówczas ciąg \(\displaystyle{ (X_n)_{n=1}^\infty}\) (oraz w szczególności \(\displaystyle{ (|X_n|^p)_{n=1}^\infty)}\) jest jednostajnie całkowalny.

Załóżmy, że ciąg \(\displaystyle{ (X_n)_{n=1}^\infty}\) nie jest jednostajnie całkowalny. Wówczas istnieje takie \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) oraz ciąg liczb naturalnych \(\displaystyle{ (m_k)_{k=1}^\infty}\) który rośnie do nieskończoności o tej własności, że

• \(\displaystyle{ \int\limits_{|X_n|\geqslant m_k} |X_n|\, {\rm d}\mathsf P\geqslant\varepsilon.}\)

Wówczas z nierówności Höldera wynika, że

• \(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}\varepsilon&\leq&\left(\int\limits_{|X_n|\geqslant m_k} |X_n|^p\, {\rm d}\mathsf P\right)^{1/p}\left(\int\limits_{|X_n|\geqslant m_k}1^{q}{\rm d}\mathsf P\right)^{1/q}\\
  &=&\|X_n\|_p \cdot \mathsf P(|X_n|\geqslant m_k)^{1/q}\\
  &=& K\cdot \mathsf P(|X_n|\geqslant m_k)^{1/q}.\end{array}}\)

Zauważmy, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ \mathsf P(|X_n|\geqslant m_k)^{1/q}\to 0}\) gdy \(\displaystyle{ k\to \infty}\). (Używamy tutaj skończoności miary \(\displaystyle{ \mathsf P}\).) Dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ \mathsf P(|X_n|\geqslant m_k)^{1/q}}\) dochodzimy do wniosku, że dla wszelkich \(\displaystyle{ k}\) mamy

• \(\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{\mathsf P(|X_n|\geqslant m_k)^{1/q}}\leqslant K}\)

co jest sprzecznością.

W przypadku \(\displaystyle{ p=1}\) istotnie powołamy się na zbieżność \(\displaystyle{ (X_n)_{n=1}^\infty}\) do \(\displaystyle{ X\in L_1(\mathsf{P})}\). Użyjemy wówczas nierówności trójkąta by oszacować

• \(\displaystyle{ |X_n|=|X_n-X+X|\leqslant |X_n-X|+|X|}\).

Wówczas

• \(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}\sup\limits_{n} \int\limits_{|X_n|>c}|X_n|\, {\rm d}\mathsf P &\leqslant& \sup\limits_{n} \int\limits_{|X_n|>c}|X_n-X|\, {\rm d}\mathsf P + \sup\limits_{n} \int\limits_{|X_n|>c}|X|\, {\rm d}\mathsf P.\end{array}}\)

Obydwie całki zbiegają do 0 gdy \(\displaystyle{ c\to \infty}\).