Matematyka.pl

Witam, dlaczego jeżeli ciąg jest zbieżny "na dwa sposoby" to te granice muszą być równe? Do tematu można by dorzucić jeszcze zbieżność w \(\displaystyle{ \mathbb{L}^p}\).

Jeśli ciąg jest zbieżny prawie wszędzie, to zbiór punktów, gdzie nie jest zbieżny, ma miarę zero. Do zbioru miary zero podchodzimy zbiorami o miarach \(\displaystyle{ <\varepsilon}\). To da nam zbieżność wg miary do tej samej funkcji.

No okej, to by się zgadzało, ale np. zbieżność prawie wszędzie i w \(\displaystyle{ \mathbb{L}^p}\), nie ma związku a jednak granica jest ta sama.

Bo zbieznosc prawie na pewno i Lp implikuja zbieznosc wedlug miary. A zbieznosc wedlug miary jest jednoznaczna.

Okej, czyli po prostu zawsze sprowadzamy sytuację do "słabszej" zbieżności. Dzięki za pomoc.

Tutaj trzeba być trochę bardziej ostrożnym. Rozważmy ciąg funkcji \(\displaystyle{ (f_n)}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) takich, że są one równe \(\displaystyle{ 0}\) na przedziale \(\displaystyle{ [-n,n]}\), równe \(\displaystyle{ 1}\) poza przedziałem \(\displaystyle{ [-n-1,n+1]}\) i liniowe pomiędzy. Taki ciąg zbiega wszędzie do zera, a nie zbiega do zera względem miary Lebesgue'a.

Wasilewski, witaj, dawno nie widziany (przeze mnie) przyjacielu.

Oj trzeba sobie przypomnieć co nieco z teorii miary. W tym celu otwarłem Łojasiewicza gdzie znajdujemy twierdzenie, że zbieżność niemal jednostajna implikuje zbieżność wg miary. Tu oczywiście o takiej zbieżności nie można mówić. Nasze \(\displaystyle{ f_n}\) są ze sfery jednostkowej w normie supremum.

Zadałem to pytanie w tym dziale, ale i tak rozpatruję to w ramach probabilistyki. Tak że wszystko tam jest "ładnie"

Akurat to jest bardziej teoria miary więc wybrałeś dobry dział.

szw1710, czasem zdarzy mi się jeszcze tutaj zajrzeć.

Faktycznie dla miar probabilistycznych sytuacja jest dużo lepsza. W ogólnym przypadku zbieżność prawie wszędzie implikuje jedynie lokalną zbieżność względem miary.

A przytoczone twierdzenie z Łojasiewicza jest fałszywe: przecież mój ciąg jest niemal jednostajnie zbieżny do zera. Jak wezmę dowolny zbiór zwarty, to dla dużych \(\displaystyle{ n}\) jest on zawarty w przedziale \(\displaystyle{ [-n,n]}\) i funkcja jest wtedy stale równa \(\displaystyle{ 0}\). Chyba że u Łojasiewicza jest po prostu zbieżność jednostajna.

Ja nie doczytałem. Zbieżność prawie jednostajna to spełnienie warunku z tw. Jegorowa. A ja sobie utożsamiłem nazwę ze zbieżnością niemal jednostajną. Szczegóły: Łojasiewicz, str. 123-124.