Zbieżność według miary i prawie wszędzie.

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
mwrooo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 18 cze 2013, o 21:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kuczbork
Podziękował: 32 razy

Zbieżność według miary i prawie wszędzie.

Post autor: mwrooo » 14 lis 2017, o 13:24

Witam, dlaczego jeżeli ciąg jest zbieżny "na dwa sposoby" to te granice muszą być równe? Do tematu można by dorzucić jeszcze zbieżność w \(\displaystyle{ \mathbb{L}^p}\).

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Zbieżność według miary i prawie wszędzie.

Post autor: szw1710 » 14 lis 2017, o 14:27

Jeśli ciąg jest zbieżny prawie wszędzie, to zbiór punktów, gdzie nie jest zbieżny, ma miarę zero. Do zbioru miary zero podchodzimy zbiorami o miarach \(\displaystyle{ <\varepsilon}\). To da nam zbieżność wg miary do tej samej funkcji.

mwrooo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 18 cze 2013, o 21:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kuczbork
Podziękował: 32 razy

Re: Zbieżność według miary i prawie wszędzie.

Post autor: mwrooo » 14 lis 2017, o 14:55

No okej, to by się zgadzało, ale np. zbieżność prawie wszędzie i w \(\displaystyle{ \mathbb{L}^p}\), nie ma związku a jednak granica jest ta sama.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Zbieżność według miary i prawie wszędzie.

Post autor: leg14 » 14 lis 2017, o 15:01

Bo zbieznosc prawie na pewno i Lp implikuja zbieznosc wedlug miary. A zbieznosc wedlug miary jest jednoznaczna.

mwrooo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 18 cze 2013, o 21:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kuczbork
Podziękował: 32 razy

Re: Zbieżność według miary i prawie wszędzie.

Post autor: mwrooo » 14 lis 2017, o 15:40

Okej, czyli po prostu zawsze sprowadzamy sytuację do "słabszej" zbieżności. Dzięki za pomoc.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Zbieżność według miary i prawie wszędzie.

Post autor: Wasilewski » 14 lis 2017, o 15:54

Tutaj trzeba być trochę bardziej ostrożnym. Rozważmy ciąg funkcji \(\displaystyle{ (f_n)}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) takich, że są one równe \(\displaystyle{ 0}\) na przedziale \(\displaystyle{ [-n,n]}\), równe \(\displaystyle{ 1}\) poza przedziałem \(\displaystyle{ [-n-1,n+1]}\) i liniowe pomiędzy. Taki ciąg zbiega wszędzie do zera, a nie zbiega do zera względem miary Lebesgue'a.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Zbieżność według miary i prawie wszędzie.

Post autor: szw1710 » 14 lis 2017, o 16:01

Wasilewski, witaj, dawno nie widziany (przeze mnie) przyjacielu.

Oj trzeba sobie przypomnieć co nieco z teorii miary. W tym celu otwarłem Łojasiewicza gdzie znajdujemy twierdzenie, że zbieżność niemal jednostajna implikuje zbieżność wg miary. Tu oczywiście o takiej zbieżności nie można mówić. Nasze \(\displaystyle{ f_n}\) są ze sfery jednostkowej w normie supremum.

mwrooo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 18 cze 2013, o 21:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kuczbork
Podziękował: 32 razy

Re: Zbieżność według miary i prawie wszędzie.

Post autor: mwrooo » 14 lis 2017, o 16:34

Zadałem to pytanie w tym dziale, ale i tak rozpatruję to w ramach probabilistyki. Tak że wszystko tam jest "ładnie"

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Zbieżność według miary i prawie wszędzie.

Post autor: szw1710 » 14 lis 2017, o 17:07

Akurat to jest bardziej teoria miary więc wybrałeś dobry dział.

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Zbieżność według miary i prawie wszędzie.

Post autor: Wasilewski » 15 lis 2017, o 20:54

szw1710, czasem zdarzy mi się jeszcze tutaj zajrzeć.

Faktycznie dla miar probabilistycznych sytuacja jest dużo lepsza. W ogólnym przypadku zbieżność prawie wszędzie implikuje jedynie lokalną zbieżność względem miary.

A przytoczone twierdzenie z Łojasiewicza jest fałszywe: przecież mój ciąg jest niemal jednostajnie zbieżny do zera. Jak wezmę dowolny zbiór zwarty, to dla dużych \(\displaystyle{ n}\) jest on zawarty w przedziale \(\displaystyle{ [-n,n]}\) i funkcja jest wtedy stale równa \(\displaystyle{ 0}\). Chyba że u Łojasiewicza jest po prostu zbieżność jednostajna.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Zbieżność według miary i prawie wszędzie.

Post autor: szw1710 » 15 lis 2017, o 22:13

Ja nie doczytałem. Zbieżność prawie jednostajna to spełnienie warunku z tw. Jegorowa. A ja sobie utożsamiłem nazwę ze zbieżnością niemal jednostajną. Szczegóły: Łojasiewicz, str. 123-124.

ODPOWIEDZ