Matematyka.pl

Mamy przestrzeń mierzalną \(\displaystyle{ (X,\Sigma, \mu)}\). Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \RR}\) jest funkcją mierzalną to funkcja \(\displaystyle{ f_A}\) dana wzorem :
\(\displaystyle{ f_A(x)=\begin{cases} -A &\text{jeśli } f(x)<-A\\f(x) &\text{jeśli }|f(x)| \le A \\A &\text{jeśli} f(x)>A \end{cases}}\)

jest mierzalna.

Zapisz tę funkcję jako coś typu \(\displaystyle{ \chi_{U_1}(x)f(x)+\chi_{U_2}|f(x)|+\chi_{U_3}f(x).}\) Moduł funkcji mierzalnej jest mierzalny, iloczyn funkcji mierzalnych jest mierzalny, to samo z sumą.

Chyba nie zrozumiałem dobrze..

A wiesz co to jest \(\displaystyle{ \chi_B}\), gdzie \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem?

Czy mówimy o funkcji charakterystycznej?

tak

Rozumiem. W jaki sposób tę funkcje powiązać ?

szw1710, Ci napisał. Zastanów się chwilę.

szw1710 pisze:Zapisz tę funkcję jako coś typu \(\displaystyle{ \chi_{U_1}(x)f(x)+\chi_{U_2}|f(x)|+\chi_{U_3}f(x).}\)

Nie da się. Na przykład jeśli \(\displaystyle{ A = \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ f(x) = x,}\) to \(\displaystyle{ f_A(1) = \frac{1}{2},}\) a powyższa formuła zawsze da liczbę całkowitą.

Nie zawsze da liczbe całkowita. Szw1710 miał na mysli - \(\displaystyle{ \chi_{U_1}(x) \cdot f(x)+\chi_{U_2}(x) \cdot |f(x)|+\chi_{U_3}(x) \cdot f(x).}\)

Generalnie chodzi o sprytny zapis funkcji określonej kilkoma wzorami. W informatyce robi się to formułą logiczną. W matematyce robi za nią funkcja charakterystyczna, której gdyby przyjrzeć się bliżej, bardzo blisko do logiki.

Proponuję zobaczyć jak działa funkcja \(\displaystyle{ h(x)=\chi_U(x)f(x)+\chi_V(x)g(x)}\). Na wykresie. Wtedy można dostrzec ideę tego co proponuję. To absolutny standard w teorii miary.

leg14 pisze:Nie zawsze da liczbe całkowita.

Dla \(\displaystyle{ x=1}\) - zawsze (tzn. niezależnie od zbiorów \(\displaystyle{ U_1, U_2, U_3}\)). Więc nie będzie równe \(\displaystyle{ f_A(1).}\)

Wystarczy zapisać\(\displaystyle{ f_A(x)=-A \chi_{U_1}+ f(x)\chi_{U_2}+ A \chi_{U_3}.}\)

Dasio11, myslalem, ze chodzilo o dowolna funkcje f.