Pokazać, że funkcja jest mierzalna.

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1076
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 269 razy
Pomógł: 34 razy

Pokazać, że funkcja jest mierzalna.

Post autor: pawlo392 » 8 lis 2017, o 20:50

Mamy przestrzeń mierzalną \(\displaystyle{ (X,\Sigma, \mu)}\). Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ f: X \rightarrow \RR}\) jest funkcją mierzalną to funkcja \(\displaystyle{ f_A}\) dana wzorem :
\(\displaystyle{ f_A(x)=\begin{cases} -A &\text{jeśli } f(x)<-A\\f(x) &\text{jeśli }|f(x)| \le A \\A &\text{jeśli} f(x)>A \end{cases}}\)

jest mierzalna.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Pokazać, że funkcja jest mierzalna.

Post autor: szw1710 » 8 lis 2017, o 21:06

Zapisz tę funkcję jako coś typu \(\displaystyle{ \chi_{U_1}(x)f(x)+\chi_{U_2}|f(x)|+\chi_{U_3}f(x).}\) Moduł funkcji mierzalnej jest mierzalny, iloczyn funkcji mierzalnych jest mierzalny, to samo z sumą.

Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1076
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 269 razy
Pomógł: 34 razy

Re: Pokazać, że funkcja jest mierzalna.

Post autor: pawlo392 » 8 lis 2017, o 21:26

Chyba nie zrozumiałem dobrze..

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Pokazać, że funkcja jest mierzalna.

Post autor: szw1710 » 8 lis 2017, o 21:44

A wiesz co to jest \(\displaystyle{ \chi_B}\), gdzie \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem?

Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1076
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 269 razy
Pomógł: 34 razy

Re: Pokazać, że funkcja jest mierzalna.

Post autor: pawlo392 » 8 lis 2017, o 21:57

Czy mówimy o funkcji charakterystycznej?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Pokazać, że funkcja jest mierzalna.

Post autor: leg14 » 8 lis 2017, o 22:02

tak

Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1076
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 269 razy
Pomógł: 34 razy

Re: Pokazać, że funkcja jest mierzalna.

Post autor: pawlo392 » 8 lis 2017, o 22:11

Rozumiem. W jaki sposób tę funkcje powiązać ?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Pokazać, że funkcja jest mierzalna.

Post autor: leg14 » 8 lis 2017, o 22:14

szw1710, Ci napisał. Zastanów się chwilę.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9419
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2071 razy

Re: Pokazać, że funkcja jest mierzalna.

Post autor: Dasio11 » 9 lis 2017, o 09:32

szw1710 pisze:Zapisz tę funkcję jako coś typu \(\displaystyle{ \chi_{U_1}(x)f(x)+\chi_{U_2}|f(x)|+\chi_{U_3}f(x).}\)
Nie da się. Na przykład jeśli \(\displaystyle{ A = \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ f(x) = x,}\) to \(\displaystyle{ f_A(1) = \frac{1}{2},}\) a powyższa formuła zawsze da liczbę całkowitą.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Pokazać, że funkcja jest mierzalna.

Post autor: leg14 » 9 lis 2017, o 13:41

Nie zawsze da liczbe całkowita. Szw1710 miał na mysli - \(\displaystyle{ \chi_{U_1}(x) \cdot f(x)+\chi_{U_2}(x) \cdot |f(x)|+\chi_{U_3}(x) \cdot f(x).}\)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Pokazać, że funkcja jest mierzalna.

Post autor: szw1710 » 9 lis 2017, o 14:56

Generalnie chodzi o sprytny zapis funkcji określonej kilkoma wzorami. W informatyce robi się to formułą logiczną. W matematyce robi za nią funkcja charakterystyczna, której gdyby przyjrzeć się bliżej, bardzo blisko do logiki.

Proponuję zobaczyć jak działa funkcja \(\displaystyle{ h(x)=\chi_U(x)f(x)+\chi_V(x)g(x)}\). Na wykresie. Wtedy można dostrzec ideę tego co proponuję. To absolutny standard w teorii miary.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9419
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2071 razy

Pokazać, że funkcja jest mierzalna.

Post autor: Dasio11 » 9 lis 2017, o 19:38

leg14 pisze:Nie zawsze da liczbe całkowita.
Dla \(\displaystyle{ x=1}\) - zawsze (tzn. niezależnie od zbiorów \(\displaystyle{ U_1, U_2, U_3}\)). Więc nie będzie równe \(\displaystyle{ f_A(1).}\)

Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1076
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 269 razy
Pomógł: 34 razy

Re: Pokazać, że funkcja jest mierzalna.

Post autor: pawlo392 » 9 lis 2017, o 21:34

Wystarczy zapisać\(\displaystyle{ f_A(x)=-A \chi_{U_1}+ f(x)\chi_{U_2}+ A \chi_{U_3}.}\)

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Pokazać, że funkcja jest mierzalna.

Post autor: leg14 » 10 lis 2017, o 00:36

Dasio11, myslalem, ze chodzilo o dowolna funkcje f.

ODPOWIEDZ