Matematyka.pl

Witam .
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{A} \subseteq \mathbb{P}(X)}\) będzie ciałem, a \(\displaystyle{ \{A_{n}
: n \in \mathbb{N}\}}\) - przeliczalna rodzina elementów tego ciała . Pokazać istnienie rodziny \(\displaystyle{ \{B_{n}: n \in \mathbb{N}\}}\) - parami rozłącznych elementów dla której spełniona jest równość :\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n} = \bigcup_{n=1}^{\infty} B_{n}}\).
Jak należy to poprawnie rozpisać?

Narysuj sobie \(\displaystyle{ A_n}\) jako dyski o srodku w \(\displaystyle{ [0,0]}\) i promieniu \(\displaystyle{ n}\). Zobaczysz wowczas jak nalezy zdefiniowac \(\displaystyle{ B_n}\)

leg14 pisze:Narysuj sobie \(\displaystyle{ A_n}\) jako dyski o srodku w \(\displaystyle{ [0,0]}\) i promieniu \(\displaystyle{ n}\). Zobaczysz wowczas jak nalezy zdefiniowac \(\displaystyle{ B_n}\)

Taki rysunek sugeruje zawieranie kolejnych zbiorów.A tak nie musi być.

425034.htm
Ta rodzina spełnia założenia, o których mówisz.

A4karo, jasne, ze nie musi, niemniej taki przyklad daje doskonala intuicje (bo kazdy przyklad sie sprowadza do sytuacji w ktorej rodzina zbiorow jest wzstepujaca - ale to juz cwiczenie dla autora tematu).