Pokaż, że \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor}\) jest mierzalna.
Czy wystarczy takie uzsadanienie?
Rozpatrzmy przeciwobrazy \(\displaystyle{ f^{-1}(A)}\). Jeśli \(\displaystyle{ A}\) nie zawiera żadnej liczby całkowitej, to przeciwobraz jest zbiorem pustym, więc mierzalnym.
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) zawiera jedną liczbę całkowitą \(\displaystyle{ k}\), to jej przeciwobrazem jest \(\displaystyle{ \langle k, k+1)}\), który jest borelowski, więc mierzalny.
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) zawiera więcej liczb całkowitych, to przeciwobraz jest sumą zbiorów borelowskich, więc zbiorem borelowskim, więc mierzalnym.
Czy da się zmierzyć podłogę?
-
szw1710
Czy da się zmierzyć podłogę?
Tak - to dobre uzasadnienie. Jedynie pozostaje kwestia redakcji.
Możesz też zauważyć, że \(\displaystyle{ \lfloor x\rfloor=\sum_{k\in\ZZ}k\chi_{[k,k+1)}(x)}\), a granica ciągu funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną, więc i suma szeregu funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną.
Możesz też zauważyć, że \(\displaystyle{ \lfloor x\rfloor=\sum_{k\in\ZZ}k\chi_{[k,k+1)}(x)}\), a granica ciągu funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną, więc i suma szeregu funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną.
-
musialmi
- Użytkownik
- Posty: 3446
- Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PWr ocław
- Podziękował: 382 razy
- Pomógł: 434 razy
Czy da się zmierzyć podłogę?
Dziękuję za sprawdzenie i za inne spojrzenie.
Granica dolna ciągu funkcji mierzalnychszw1710 pisze:a granica ciągu funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną