Granica dolna ciągu funkcji mierzalnych

[musialmi]

Uzasadnij, że granica dolna ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna.

Granica dolna to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( \inf_{k>n} f_k\right)}\). Wiemy, że dla każdego k i dla każdego zbioru mierzalnego \(\displaystyle{ A}\) mierzalny jest \(\displaystyle{ f_k^{-1}(A)}\). I co dalej?

[Dasio11]

Można zapisać tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left( \inf_{k > n} f_k \right) = \sup_{n \in \NN} \left( \inf_{k > n} f_k \right).}\)

Oznaczmy

\(\displaystyle{ g_n = \inf_{k > n} f_k.}\)

Postaraj się pokazać, że wszystkie \(\displaystyle{ g_n}\) są mierzalne.

[musialmi]

\(\displaystyle{ f_n}\) to ciąg funkcji mierzalnych, więc dla każdego k mierzalna jest \(\displaystyle{ f_k}\), w szczególności dla \(\displaystyle{ k>n}\) (dla pewnego n) mierzalna jest \(\displaystyle{ f_k}\), a co z kresem dolnym? Nie wiem czy jest osiągany, więc nie wiem czy jest to funkcja mierzalna

[Dasio11]

To spróbuj dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in \RR}\) zbadać

\(\displaystyle{ g^{-1} \big[ [a, \infty) \big] = \{ x \in \RR : g(x) \ge a \}.}\)

[musialmi]

Pewnie chodzi o twierdzenie, które mówi tyle, że dokładnie taki zbiór jest mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ g}\) jest mierzalna. Tylko nie wiem nic o mierzalności funkcji, ani tego zbioru. Dasiu, co robić?

[Arytmetyk]

Można odzielnie sprawdzić że \(\displaystyle{ \inf u _{j}}\) i \(\displaystyle{ \sup u_{j}}\) gdzie \(\displaystyle{ u_{j}}\) są mierzalne. I potem skorzystać z tego że mamy tu złożenie funkcji mierzalnych.

By pokazać mierzalność supremum to zastanów się kiedy dla każdego j \(\displaystyle{ \sup u_{j} \ge a}\).
Warto to sobie narysować.

[musialmi]

Można odzielnie sprawdzić że \(\displaystyle{ \inf u _{j}}\) i \(\displaystyle{ \sup u_{j}}\) gdzie \(\displaystyle{ u_{j}}\) są mierzalne.

Właśnie w tym miejscu jesteśmy i nie wiem jak to zrobić.

By pokazać mierzalność supremum to zastanów się kiedy dla każdego j \(\displaystyle{ \sup u_{j} \ge a}\).

W sensie równoważności? To nie wiem. A w sensie implikacji: na przykład jeśli każda wartość każdej z funkcji \(\displaystyle{ f_j}\) jest mniejsza od \(\displaystyle{ a}\).

Warto to sobie narysować.

Jakbym wiedział jak...

[Arytmetyk]

By \(\displaystyle{ \sup u_{j} \le a}\) to każda funkcja \(\displaystyle{ u_{j} \le a}\) zatem mamy \(\displaystyle{ \cap \left\{ u_{j} \le a\right\}}\)
przekrój jest tutaj po j oczywiście; więc mamy przekrój zbiorów mierzalnych

[musialmi]

A, dobra, a przekrój zbiorów mierzalnych jest mierzalny? Czy wynika to z definicji sigma-ciała?

[Arytmetyk]

Tak przeliczany przekrój zbiorów mierzalnych jest mierzalny(mierzalny zbiór czyli taki który należy do sigma ciała).

[musialmi]

No to chyba koniec zadania w takim razie, bo mamy, że \(\displaystyle{ \inf_{k > n} f_k}\) , a chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ \sup_{n \in \NN} \left( \inf_{k > n} f_k \right)}\) jest mierzalny. A zrobić można to w analogiczny sposób. Czy tak?

[Arytmetyk]

tak, analogicznie; tylko dla sprawdzania inf może być łatwiej wyobrazić sobie kiedy zachodzi przeciwna równośc czyli kiedy \(\displaystyle{ \inf u_{j} \ge a}\)