Istnienie zbioru i ciągłość bezwzględna miary

Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2171
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 81 razy
Pomógł: 329 razy

Istnienie zbioru i ciągłość bezwzględna miary

Post autor: matmatmm » 12 maja 2022, o 15:35

Natknąłem się ostatnio na następujące stwierdzenie (bez dowodu):

Jeśli \(\displaystyle{ \mu,\nu: \Sigma \rightarrow [0,\infty)}\) są miarami skończonymi na tej samej przestrzeni \(\displaystyle{ X}\), to istnieje zbiór mierzalny \(\displaystyle{ E_0}\) taki, że \(\displaystyle{ \nu(E_0)=0}\) oraz miara \(\displaystyle{ \mu'}\) dana wzorem \(\displaystyle{ \mu'(E)=\mu(E\setminus E_0)}\) jest bezwzględnie ciągła względem \(\displaystyle{ \nu}\).

Niestety nie udało mi się samodzielnie tego pokazać. Nie wiem też, czy jest to jakiś powszechnie znany fakt. Proszę o pomoc.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3513
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1217 razy

Re: Istnienie zbioru i ciągłość bezwzględna miary

Post autor: Janusz Tracz » 12 maja 2022, o 16:28

Mi się kojarzy

Kod: Zaznacz cały

en.wikipedia.org/wiki/Hahn_decomposition_theorem
Hahn decomposition theorem

PS Nie wiem czy to skojarzenie jest dobre ale to była pierwsza rzecz o jakiej pomyślałem. Jeśli to Ci się nie przyda lub znasz to twierdzenie to sorki.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2171
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 81 razy
Pomógł: 329 razy

Re: Istnienie zbioru i ciągłość bezwzględna miary

Post autor: matmatmm » 12 maja 2022, o 17:03

Znam to twierdzenie i nijak się ono tutaj nie przydaje, bo moje miary już z założenia są nieujemne.

Awatar użytkownika
Slup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 558
Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 145 razy

Re: Istnienie zbioru i ciągłość bezwzględna miary

Post autor: Slup » 12 maja 2022, o 19:27

To jest zdaje się rozkład Lebesgue'a. Taką nazwę kojarzę. Tak też nazywa się ten fakt (być może niesłusznie) w notatkach z teorii miary, ale pamiętam, że gdy je pisałem, to sprawdzałem dosyć szczegółowo źródła.
zobacz_ten_plik.pdf
(165.07 KiB) Pobrany 1 raz
Dowód wygląda następująco. Weźmy
$$\mathcal{F} = \{A\in \Sigma\,\mid\,\nu(A)=0\mbox{ oraz }\mu(A)>0\}$$
Niech
$$\alpha = \sup_{A\in \mathcal{F}}\mu(A)$$
wtedy \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\). Wówczas istnieje ciąg \(\displaystyle{ \{A_n\}_{n\in \mathbb{N}}}\) elementów \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) taki, że
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}\mu(A_n) = \alpha$$
Weźmy
$$E_0 = \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n$$
Łatwo wykazać, że \(\displaystyle{ \mu(E_0) = \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \nu(E_0) = 0}\). Stąd już wynika, że \(\displaystyle{ E_0}\) jest poszukiwanym zbiorem.

Poza tym nie jestem wcale taki pewny, że nie da się rozkładu Lebesgue'a otrzymać z twr. Hahna-Jordana (pomijając, że brzmi to trochę niezdarnie z punktu widzenia logiki formalnej). Stosowałbym po prostu rozkład Hahna-Jordana do ciągu miar
$$\nu_n = \mu - n\cdot \nu$$
przy \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) i wziąłbym przecięcie zbiorów dodatnich – to powinno dać \(\displaystyle{ E_0}\).

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2171
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 81 razy
Pomógł: 329 razy

Re: Istnienie zbioru i ciągłość bezwzględna miary

Post autor: matmatmm » 16 maja 2022, o 12:59

Udowodnienie, że \(\displaystyle{ E_0}\) jest dobrym zbiorem nie chce pójść. BIorę zbiór mierzalny \(\displaystyle{ E}\) i zakładam, że \(\displaystyle{ \nu(E)=0}\). Jak stąd wyciągnąć \(\displaystyle{ \mu(E\setminus E_0)=0}\) ?

Mam wrażenie, że dobranie \(\displaystyle{ E_0}\) w ten sposób nie zadziała i mam nawet pomysł, żeby dobrać go inaczej tzn. zastosować taką hipotetyczną własność:

Hipoteza. Jeśli \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą skończoną, a \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest rodziną zbiorów o dodatniej mierze, to istnieje przeliczalna podrodzina \(\displaystyle{ \mathcal{E}\subseteq \mathcal{F}}\) taka, że dla każdego \(\displaystyle{ F\in\mathcal{F}}\) istnieje \(\displaystyle{ E\in\mathcal{E}}\) taki, że \(\displaystyle{ E\cap F\neq \emptyset}\).

Czy komuś wiadomo coś na temat mojej hipotezy? Czy może jednak da się dokończyć ten dowód tak jak proponuje Slup?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9768
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2202 razy

Re: Istnienie zbioru i ciągłość bezwzględna miary

Post autor: Dasio11 » 16 maja 2022, o 13:19

matmatmm pisze:
16 maja 2022, o 12:59
Udowodnienie, że \(\displaystyle{ E_0}\) jest dobrym zbiorem nie chce pójść. BIorę zbiór mierzalny \(\displaystyle{ E}\) i zakładam, że \(\displaystyle{ \nu(E)=0}\). Jak stąd wyciągnąć \(\displaystyle{ \mu(E\setminus E_0)=0}\) ?
Gdyby \(\displaystyle{ \mu(E \setminus E_0) > 0}\), to z uwagi na \(\displaystyle{ \nu(E \cup E_0) = 0}\) mielibyśmy

\(\displaystyle{ \alpha \ge \mu(E \cup E_0) = \mu(E \setminus E_0) + \mu(E_0) > \mu(E_0)}\),

co jest sprzeczne z udowodnionym wcześniej warunkiem \(\displaystyle{ \mu(E_0) = \alpha}\).

matmatmm pisze:
16 maja 2022, o 12:59
Hipoteza. Jeśli \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą skończoną, a \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest rodziną zbiorów o dodatniej mierze, to istnieje przeliczalna podrodzina \(\displaystyle{ \mathcal{E}\subseteq \mathcal{F}}\) taka, że dla każdego \(\displaystyle{ F\in\mathcal{F}}\) istnieje \(\displaystyle{ E\in\mathcal{E}}\) taki, że \(\displaystyle{ E\cap F\neq \emptyset}\).
To się robi tak samo: niech

\(\displaystyle{ \alpha = \sup \left\{ \mu \left( \bigcup \mathcal{E} \right) : \mathcal{E} \subseteq \mathcal{F} \text{ jest przeliczalna} \right\}}\)

i weźmy ciąg przeliczalnych rodzin \(\displaystyle{ \mathcal{E}_n \subseteq \mathcal{F}}\), taki że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \mu \left( \bigcup \mathcal{E}_n \right) = \alpha}\).

Wtedy \(\displaystyle{ \mathcal{E} := \bigcup_{n=1}^{\infty} \mathcal{E}_n \subseteq \mathcal{F}}\) jest przeliczalna i \(\displaystyle{ \mu \left( \bigcup \mathcal{E} \right) = \alpha}\). Stąd już wynika, że \(\displaystyle{ \mathcal{E}}\) jest poszukiwaną rodziną.

ODPOWIEDZ