Matematyka.pl

Zbadać różniczkowalność zespoloną z definicji funkcji
1) \(\displaystyle{ f(z) = |z^3 - 1|^3}\) w dowolnym punkcie \(\displaystyle{ z_0}\)
2) \(\displaystyle{ f(z) = \Re (z^2)}\) w punkcie \(\displaystyle{ z_0 = i}\).

Pierwszego punktu nie mam pojęcia jak rozpisać, a w drugim doszłam do

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{\Re (h^2) + 2 \Re (hi)}{h}}\)

i nie wiem co dalej.

2) \(\displaystyle{ \Re\left((i+h)^2\right)-\Re\left(i^2\right)=\\=\Re(h^2)+\Re(i^2)-2\Im h+1=Re(h^2)-2\Im h}\)

Uwaga:
\(\displaystyle{ \Re (zw)=\Re z\Re w-\Im z\Im w}\)
No a granica
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h}}\)
nie istnieje:
rozważ ciągi
\(\displaystyle{ h_n= \frac{i+1}{\sqrt{n}}, g_n= \frac{1}{\sqrt{n}}}\)
i przypomnij sobie definicję Heinego granicy funkcji.

Definicję Heinego miałam jednynie przy funkcjach rzeczywistych, czy w przypadku zespolonym działa analogicznie?

Czy mogę przy granicy
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h}}\) rozważyć przypadki
a) \(\displaystyle{ h \in \mathbb{R}}\) wtedy \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = 0}\)
b) \(\displaystyle{ h \in i \mathbb{R}}\) wtedy \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 2h}{h} = -2}\)

i teraz stwierdzić, że granica nie istnieje?

Definicję Heinego miałam jednynie przy funkcjach rzeczywistych, czy w przypadku zespolonym działa analogicznie?

Tak.

Czy mogę przy granicy
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h}}\) rozważyć przypadki
a) \(\displaystyle{ h \in \mathbb{R} wtedy \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = 0}\)
b) \(\displaystyle{ h \in i \mathbb{R} wtedy \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 2h}{h} = -2}\)

i teraz stwierdzić, że granica nie istnieje?

Jak najbardziej.

Super, dziękuję!

A jakieś wskazówki do pierwszego przykładu? Bo mam wrażenie że wzór na trzecią potęgę komplikuje sprawę, ponieważ nie mogę się niczego konkretnego doliczyć.

1.

\(\displaystyle{ f(z)= [(z^3 - 1)\cdot \overline{z^3 -1})]^{\frac{3}{2}}.}\)

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest zarówno funkcją złożoną z funkcji \(\displaystyle{ u = z^3 -1,}\) jak i \(\displaystyle{ \overline{u} = \overline{z^3 -1}.}\)

Nie da się zapisać modułu liczby \(\displaystyle{ z = x+i y}\) bez udziału \(\displaystyle{ \overline{z}= x - iy .}\)

W konsekwencji funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie może być funkcją holomorficzną, a więc i różniczkowalną.

Proszę sprawdzić dla funkcji \(\displaystyle{ f}\) warunki Cauchy-Riemanna, aby przekonać się naocznie, że nie są one spełnione.

W teorii funkcji zmiennej zespolonej jest silne ograniczenie- funkcja holomorficzna nie może zależeć od sprzężenia \(\displaystyle{ \overline{z}.}\)

Tak, tak mieliśmy na ćwiczeniach sprawdzone za pomocą równań Cauchy'ego-Riemanna i mieliśmy warunek, że jest jest analityczna \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \frac{ \partial f}{ \partial \overline{z}} = 0}\), a teraz mamy to policzyć jedynie korzystając z definicji.