Zbadać różniczkowalność zespoloną z definicji funkcji
1) \(\displaystyle{ f(z) = |z^3 - 1|^3}\) w dowolnym punkcie \(\displaystyle{ z_0}\)
2) \(\displaystyle{ f(z) = \Re (z^2)}\) w punkcie \(\displaystyle{ z_0 = i}\).
Pierwszego punktu nie mam pojęcia jak rozpisać, a w drugim doszłam do
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{\Re (h^2) + 2 \Re (hi)}{h}}\)
i nie wiem co dalej.
zbadać różniczkowalność z definicji
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 16 paź 2015, o 18:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 7 razy
zbadać różniczkowalność z definicji
Ostatnio zmieniony 21 paź 2017, o 19:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: zbadać różniczkowalność z definicji
2) \(\displaystyle{ \Re\left((i+h)^2\right)-\Re\left(i^2\right)=\\=\Re(h^2)+\Re(i^2)-2\Im h+1=Re(h^2)-2\Im h}\)
Uwaga:
\(\displaystyle{ \Re (zw)=\Re z\Re w-\Im z\Im w}\)
No a granica
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h}}\)
nie istnieje:
rozważ ciągi
\(\displaystyle{ h_n= \frac{i+1}{\sqrt{n}}, g_n= \frac{1}{\sqrt{n}}}\)
i przypomnij sobie definicję Heinego granicy funkcji.
Uwaga:
\(\displaystyle{ \Re (zw)=\Re z\Re w-\Im z\Im w}\)
No a granica
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h}}\)
nie istnieje:
rozważ ciągi
\(\displaystyle{ h_n= \frac{i+1}{\sqrt{n}}, g_n= \frac{1}{\sqrt{n}}}\)
i przypomnij sobie definicję Heinego granicy funkcji.
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 16 paź 2015, o 18:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 7 razy
Re: zbadać różniczkowalność z definicji
Definicję Heinego miałam jednynie przy funkcjach rzeczywistych, czy w przypadku zespolonym działa analogicznie?
Czy mogę przy granicy
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h}}\) rozważyć przypadki
a) \(\displaystyle{ h \in \mathbb{R}}\) wtedy \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = 0}\)
b) \(\displaystyle{ h \in i \mathbb{R}}\) wtedy \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 2h}{h} = -2}\)
i teraz stwierdzić, że granica nie istnieje?
Czy mogę przy granicy
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h}}\) rozważyć przypadki
a) \(\displaystyle{ h \in \mathbb{R}}\) wtedy \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = 0}\)
b) \(\displaystyle{ h \in i \mathbb{R}}\) wtedy \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 2h}{h} = -2}\)
i teraz stwierdzić, że granica nie istnieje?
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: zbadać różniczkowalność z definicji
Tak.Definicję Heinego miałam jednynie przy funkcjach rzeczywistych, czy w przypadku zespolonym działa analogicznie?
Jak najbardziej.Czy mogę przy granicy
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h}}\) rozważyć przypadki
a) \(\displaystyle{ h \in \mathbb{R} wtedy \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = 0}\)
b) \(\displaystyle{ h \in i \mathbb{R} wtedy \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 2h}{h} = -2}\)
i teraz stwierdzić, że granica nie istnieje?
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 16 paź 2015, o 18:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 7 razy
Re: zbadać różniczkowalność z definicji
Super, dziękuję!
A jakieś wskazówki do pierwszego przykładu? Bo mam wrażenie że wzór na trzecią potęgę komplikuje sprawę, ponieważ nie mogę się niczego konkretnego doliczyć.
A jakieś wskazówki do pierwszego przykładu? Bo mam wrażenie że wzór na trzecią potęgę komplikuje sprawę, ponieważ nie mogę się niczego konkretnego doliczyć.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
zbadać różniczkowalność z definicji
1.
\(\displaystyle{ f(z)= [(z^3 - 1)\cdot \overline{z^3 -1})]^{\frac{3}{2}}.}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest zarówno funkcją złożoną z funkcji \(\displaystyle{ u = z^3 -1,}\) jak i \(\displaystyle{ \overline{u} = \overline{z^3 -1}.}\)
Nie da się zapisać modułu liczby \(\displaystyle{ z = x+i y}\) bez udziału \(\displaystyle{ \overline{z}= x - iy .}\)
W konsekwencji funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie może być funkcją holomorficzną, a więc i różniczkowalną.
Proszę sprawdzić dla funkcji \(\displaystyle{ f}\) warunki Cauchy-Riemanna, aby przekonać się naocznie, że nie są one spełnione.
W teorii funkcji zmiennej zespolonej jest silne ograniczenie- funkcja holomorficzna nie może zależeć od sprzężenia \(\displaystyle{ \overline{z}.}\)
\(\displaystyle{ f(z)= [(z^3 - 1)\cdot \overline{z^3 -1})]^{\frac{3}{2}}.}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest zarówno funkcją złożoną z funkcji \(\displaystyle{ u = z^3 -1,}\) jak i \(\displaystyle{ \overline{u} = \overline{z^3 -1}.}\)
Nie da się zapisać modułu liczby \(\displaystyle{ z = x+i y}\) bez udziału \(\displaystyle{ \overline{z}= x - iy .}\)
W konsekwencji funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie może być funkcją holomorficzną, a więc i różniczkowalną.
Proszę sprawdzić dla funkcji \(\displaystyle{ f}\) warunki Cauchy-Riemanna, aby przekonać się naocznie, że nie są one spełnione.
W teorii funkcji zmiennej zespolonej jest silne ograniczenie- funkcja holomorficzna nie może zależeć od sprzężenia \(\displaystyle{ \overline{z}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 16 paź 2015, o 18:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 7 razy
Re: zbadać różniczkowalność z definicji
Tak, tak mieliśmy na ćwiczeniach sprawdzone za pomocą równań Cauchy'ego-Riemanna i mieliśmy warunek, że jest jest analityczna \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \frac{ \partial f}{ \partial \overline{z}} = 0}\), a teraz mamy to policzyć jedynie korzystając z definicji.