zbadać różniczkowalność z definicji

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
viola14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 16 paź 2015, o 18:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

zbadać różniczkowalność z definicji

Post autor: viola14 » 21 paź 2017, o 18:55

Zbadać różniczkowalność zespoloną z definicji funkcji
1) \(\displaystyle{ f(z) = |z^3 - 1|^3}\) w dowolnym punkcie \(\displaystyle{ z_0}\)
2) \(\displaystyle{ f(z) = \Re (z^2)}\) w punkcie \(\displaystyle{ z_0 = i}\).

Pierwszego punktu nie mam pojęcia jak rozpisać, a w drugim doszłam do

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{\Re (h^2) + 2 \Re (hi)}{h}}\)

i nie wiem co dalej.
Ostatnio zmieniony 21 paź 2017, o 19:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: zbadać różniczkowalność z definicji

Post autor: Premislav » 21 paź 2017, o 19:15

2) \(\displaystyle{ \Re\left((i+h)^2\right)-\Re\left(i^2\right)=\\=\Re(h^2)+\Re(i^2)-2\Im h+1=Re(h^2)-2\Im h}\)

Uwaga:
\(\displaystyle{ \Re (zw)=\Re z\Re w-\Im z\Im w}\)
No a granica
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h}}\)
nie istnieje:
rozważ ciągi
\(\displaystyle{ h_n= \frac{i+1}{\sqrt{n}}, g_n= \frac{1}{\sqrt{n}}}\)
i przypomnij sobie definicję Heinego granicy funkcji.

viola14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 16 paź 2015, o 18:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Re: zbadać różniczkowalność z definicji

Post autor: viola14 » 21 paź 2017, o 19:30

Definicję Heinego miałam jednynie przy funkcjach rzeczywistych, czy w przypadku zespolonym działa analogicznie?

Czy mogę przy granicy
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h}}\) rozważyć przypadki
a) \(\displaystyle{ h \in \mathbb{R}}\) wtedy \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = 0}\)
b) \(\displaystyle{ h \in i \mathbb{R}}\) wtedy \(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 2h}{h} = -2}\)

i teraz stwierdzić, że granica nie istnieje?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: zbadać różniczkowalność z definicji

Post autor: Premislav » 21 paź 2017, o 19:33

Definicję Heinego miałam jednynie przy funkcjach rzeczywistych, czy w przypadku zespolonym działa analogicznie?
Tak.
Czy mogę przy granicy
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h}}\) rozważyć przypadki
a) \(\displaystyle{ h \in \mathbb{R} wtedy \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 - 0}{h} = 0}\)
b) \(\displaystyle{ h \in i \mathbb{R} wtedy \lim_{h \to 0} \frac{Re(h^2)-2\Im h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 2h}{h} = -2}\)

i teraz stwierdzić, że granica nie istnieje?
Jak najbardziej.

viola14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 16 paź 2015, o 18:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Re: zbadać różniczkowalność z definicji

Post autor: viola14 » 21 paź 2017, o 19:38

Super, dziękuję!

A jakieś wskazówki do pierwszego przykładu? Bo mam wrażenie że wzór na trzecią potęgę komplikuje sprawę, ponieważ nie mogę się niczego konkretnego doliczyć.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

zbadać różniczkowalność z definicji

Post autor: janusz47 » 21 paź 2017, o 20:21

1.

\(\displaystyle{ f(z)= [(z^3 - 1)\cdot \overline{z^3 -1})]^{\frac{3}{2}}.}\)

Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest zarówno funkcją złożoną z funkcji \(\displaystyle{ u = z^3 -1,}\) jak i \(\displaystyle{ \overline{u} = \overline{z^3 -1}.}\)

Nie da się zapisać modułu liczby \(\displaystyle{ z = x+i y}\) bez udziału \(\displaystyle{ \overline{z}= x - iy .}\)

W konsekwencji funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie może być funkcją holomorficzną, a więc i różniczkowalną.

Proszę sprawdzić dla funkcji \(\displaystyle{ f}\) warunki Cauchy-Riemanna, aby przekonać się naocznie, że nie są one spełnione.

W teorii funkcji zmiennej zespolonej jest silne ograniczenie- funkcja holomorficzna nie może zależeć od sprzężenia \(\displaystyle{ \overline{z}.}\)

viola14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 16 paź 2015, o 18:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Re: zbadać różniczkowalność z definicji

Post autor: viola14 » 21 paź 2017, o 20:27

Tak, tak mieliśmy na ćwiczeniach sprawdzone za pomocą równań Cauchy'ego-Riemanna i mieliśmy warunek, że jest jest analityczna \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \frac{ \partial f}{ \partial \overline{z}} = 0}\), a teraz mamy to policzyć jedynie korzystając z definicji.

ODPOWIEDZ