Strona 1 z 1
rozwijanie funkcji zespolonych w szereg Taylora
: 1 wrz 2017, o 09:48
autor: szaki9
Witam z rana,
potrzebuję wskazówki jak poradzić sobie z rozwinięciem funkcji:
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{ \sqrt{1+z} }}\)
w szereg Taylora o środku w punkcie z=0, dla \(\displaystyle{ \left|z \right|<1}\).
Mogę korzystać tylko z rozwinięć "elementarnych" typu ln(1+z), sinz, cosz, albo \(\displaystyle{ e ^{z}}\).
Będę wdzięczna za każdą pomoc!
Re: rozwijanie funkcji zespolonych w szereg Taylora
: 1 wrz 2017, o 10:41
autor: PoweredDragon
\(\displaystyle{ f(z) = (1+z)^{-\frac{1}{2}}}\)
Oczywiście zakładam, że chodzi o pierwiastek pierwotny, więc:
\(\displaystyle{ f^{(n)}(z) = (\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-n) (1+z)^{-\frac{1}{2}-n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ f^{(n)}}\) to n-ta pochodna f
I do wzoru Taylora
Re: rozwijanie funkcji zespolonych w szereg Taylora
: 1 wrz 2017, o 12:50
autor: szaki9
zastanawiałam się czy da się to jakoś zrobić bez różniczkowania po n, ale chyba nie, dzięki wielkie
po zsumowaniu i uporządkowaniu wyszedł mi taki szereg:
\(\displaystyle{ f(z)=1+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ (-1) ^{n} (2n-1)!!}{(2n)!!} z ^{n}}\)
Re: rozwijanie funkcji zespolonych w szereg Taylora
: 1 wrz 2017, o 13:52
autor: PoweredDragon
Wynik jest dobry, więc nie ma o co się martwić, jeszcze ewentualnie tę jedynkę tam wrzucić w serię (dla n=0 i skorzystaniu z Gammy [bez zmiany silni tak na prawdę] mamy 1 na samym początku
Re: rozwijanie funkcji zespolonych w szereg Taylora
: 1 wrz 2017, o 14:53
autor: Cytryn
Albo z funkcji tworzących, mamy
\(\displaystyle{ (1+x)^n = \sum_{k=0}^\infty {n \choose k} x^k}\)
Re: rozwijanie funkcji zespolonych w szereg Taylora
: 1 wrz 2017, o 16:07
autor: szaki9
@Cytryn
to działa również dla ujemnych n-ów?
Re: rozwijanie funkcji zespolonych w szereg Taylora
: 1 wrz 2017, o 16:28
autor: Cytryn
To działa dla rzeczywistych \(\displaystyle{ n}\). Wyjaśnienie powinno być gdzieś w internecie albo Matematyce konkretnej Grahama, Knutha, Patashnika (zakładam jak autor tematu, że \(\displaystyle{ |x| < 1}\)).