rozwijanie funkcji zespolonych w szereg Taylora

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
szaki9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 31 sie 2017, o 15:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: WWA

rozwijanie funkcji zespolonych w szereg Taylora

Post autor: szaki9 » 1 wrz 2017, o 09:48

Witam z rana,

potrzebuję wskazówki jak poradzić sobie z rozwinięciem funkcji:

\(f(z)= \frac{1}{ \sqrt{1+z} }\)

w szereg Taylora o środku w punkcie z=0, dla \(\left|z \right|<1\).

Mogę korzystać tylko z rozwinięć "elementarnych" typu ln(1+z), sinz, cosz, albo \(e ^{z}\).

Będę wdzięczna za każdą pomoc!

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 816
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: rozwijanie funkcji zespolonych w szereg Taylora

Post autor: PoweredDragon » 1 wrz 2017, o 10:41

\(f(z) = (1+z)^{-\frac{1}{2}}\)
Oczywiście zakładam, że chodzi o pierwiastek pierwotny, więc:

\(f^{(n)}(z) = (\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)...(\frac{1}{2}-n) (1+z)^{-\frac{1}{2}-n}\)
gdzie \(f^{(n)}\) to n-ta pochodna f

I do wzoru Taylora

szaki9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 31 sie 2017, o 15:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: WWA

Re: rozwijanie funkcji zespolonych w szereg Taylora

Post autor: szaki9 » 1 wrz 2017, o 12:50

zastanawiałam się czy da się to jakoś zrobić bez różniczkowania po n, ale chyba nie, dzięki wielkie

po zsumowaniu i uporządkowaniu wyszedł mi taki szereg:

\(f(z)=1+ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ (-1) ^{n} (2n-1)!!}{(2n)!!} z ^{n}\)

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 816
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: rozwijanie funkcji zespolonych w szereg Taylora

Post autor: PoweredDragon » 1 wrz 2017, o 13:52

Wynik jest dobry, więc nie ma o co się martwić, jeszcze ewentualnie tę jedynkę tam wrzucić w serię (dla n=0 i skorzystaniu z Gammy [bez zmiany silni tak na prawdę] mamy 1 na samym początku

Awatar użytkownika
Cytryn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 405
Rejestracja: 17 wrz 2016, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: rozwijanie funkcji zespolonych w szereg Taylora

Post autor: Cytryn » 1 wrz 2017, o 14:53

Albo z funkcji tworzących, mamy

\((1+x)^n = \sum_{k=0}^\infty {n \choose k} x^k\)

szaki9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 31 sie 2017, o 15:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: WWA

Re: rozwijanie funkcji zespolonych w szereg Taylora

Post autor: szaki9 » 1 wrz 2017, o 16:07

@Cytryn

to działa również dla ujemnych n-ów?

Awatar użytkownika
Cytryn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 405
Rejestracja: 17 wrz 2016, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: rozwijanie funkcji zespolonych w szereg Taylora

Post autor: Cytryn » 1 wrz 2017, o 16:28

To działa dla rzeczywistych \(n\). Wyjaśnienie powinno być gdzieś w internecie albo Matematyce konkretnej Grahama, Knutha, Patashnika (zakładam jak autor tematu, że \(|x| < 1\)).

ODPOWIEDZ