Całka zespolona, wzór Cauchy'ego
: 1 lip 2016, o 19:18
Witam.
Mam do policzenia całkę \(\displaystyle{ \int_{\gamma}^{} \frac{e^{2z}}{z^2 + \pi ^2} \dd z}\), gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) to okrąg o środku w \(\displaystyle{ - \pi i}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2}\) zorientowany ujemnie.
\(\displaystyle{ \int_{\gamma}^{} \frac{e^{2z}}{z^2 + \pi ^2} \dd z = \int_{\gamma}^{} \frac{\frac{e^{2z}}{z - \pi i}}{z + \pi i} \dd z = \int_{\gamma}^{} \frac{f(z)}{z + \pi i} \dd z = -2 \pi i f(- \pi i)}\)
Okrąg jest zorientowany ujemnie dlatego w ostatniej równości pojawił się minus. Kontynuując:
\(\displaystyle{ ... = -2 \pi i \frac{e^{-2 \pi i}}{-2 \pi i} = 1}\)
Pozwoliłem sobie pominąć badanie holomorficzności, ale czy poza tym zadanie jest rozwiązane poprawnie?
Jak zwykle z góry dziękuje za pomoc.
Mam do policzenia całkę \(\displaystyle{ \int_{\gamma}^{} \frac{e^{2z}}{z^2 + \pi ^2} \dd z}\), gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) to okrąg o środku w \(\displaystyle{ - \pi i}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2}\) zorientowany ujemnie.
\(\displaystyle{ \int_{\gamma}^{} \frac{e^{2z}}{z^2 + \pi ^2} \dd z = \int_{\gamma}^{} \frac{\frac{e^{2z}}{z - \pi i}}{z + \pi i} \dd z = \int_{\gamma}^{} \frac{f(z)}{z + \pi i} \dd z = -2 \pi i f(- \pi i)}\)
Okrąg jest zorientowany ujemnie dlatego w ostatniej równości pojawił się minus. Kontynuując:
\(\displaystyle{ ... = -2 \pi i \frac{e^{-2 \pi i}}{-2 \pi i} = 1}\)
Pozwoliłem sobie pominąć badanie holomorficzności, ale czy poza tym zadanie jest rozwiązane poprawnie?
Jak zwykle z góry dziękuje za pomoc.