Całka zespolona, wzór Cauchy'ego

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1477
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Całka zespolona, wzór Cauchy'ego

Post autor: NogaWeza » 1 lip 2016, o 19:18

Witam.
Mam do policzenia całkę \(\displaystyle{ \int_{\gamma}^{} \frac{e^{2z}}{z^2 + \pi ^2} \dd z}\), gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) to okrąg o środku w \(\displaystyle{ - \pi i}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2}\) zorientowany ujemnie.

\(\displaystyle{ \int_{\gamma}^{} \frac{e^{2z}}{z^2 + \pi ^2} \dd z = \int_{\gamma}^{} \frac{\frac{e^{2z}}{z - \pi i}}{z + \pi i} \dd z = \int_{\gamma}^{} \frac{f(z)}{z + \pi i} \dd z = -2 \pi i f(- \pi i)}\)

Okrąg jest zorientowany ujemnie dlatego w ostatniej równości pojawił się minus. Kontynuując:

\(\displaystyle{ ... = -2 \pi i \frac{e^{-2 \pi i}}{-2 \pi i} = 1}\)

Pozwoliłem sobie pominąć badanie holomorficzności, ale czy poza tym zadanie jest rozwiązane poprawnie?
Jak zwykle z góry dziękuje za pomoc.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8601
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1806 razy

Całka zespolona, wzór Cauchy'ego

Post autor: Dasio11 » 1 lip 2016, o 19:23

Dobrze.

ODPOWIEDZ