Strona 1 z 1
Iloczyn nieskończony
: 23 sty 2020, o 19:10
autor: Strunowiec
Witam serdecznie jako nowy użytkownik forum.
Szukam u Państwa - koneserów królowej nauk - podpowiedzi.
Mój syn bawiąc się na kalkulatorze wykonywał sekwencję działań 1 / 2 * 3 / 4 * 5 / 6 * / 7
etc.
Oczywiście zauważył, że iteracja stabilizuje się po nieparzystych elementach iteracji.
U mnie zaś powstała refleksja, że wynik powinien być konkretną liczbą, bo \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = 1}\).
Nie umiem zaś zupełnie tej liczby wyprowadzić. Zrobiłem sobie na komputerze 100 milionów iteracji i coś mi tam wyszło ale to wciąż daleko od granicy.
Czy mogę prosić o rozwiązanie lub podpowiedź?
\(\displaystyle{ \prod_{N=1}^{ \infty } \frac{2N+1}{ 2N}}\).
pozdrawiam serdecznie,
Strunowiec.
p.s. zapis latex mistrz !
Re: Iloczyn nieskończony
: 23 sty 2020, o 19:52
autor: Janusz Tracz
Aby uniknąć nieporozumień na początku warto ściśle zdefiniować czy mówimy o
\(\displaystyle{ \prod_{N=1}^{ \infty } \frac{2N+1}{2N} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdot ... }\)
czy o
\(\displaystyle{ \prod_{N=1}^{ \infty } \frac{2N-1}{2N} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... }\)
Ma to bowiem kluczowe znaczenie a w Twoim poście piszesz o dwóch wersjach. W pewnym sensie można doszukać się pewnych pomiędzy tymi iloczynami i uzależnić wynik jednego od drugiego, choć to wymagało by trochę (nietrudnych) rachunków. Niezależnie od wersji można poszukać jawnego wzoru na
\(\displaystyle{ \prod_{N=1}^{ M } \frac{2N+1}{2N} }\) i
\(\displaystyle{ \prod_{N=1}^{ M } \frac{2N-1}{2N} }\) a potem policzyć co się dzieje gdy
\(\displaystyle{ M \rightarrow \infty }\) (czyli podejść z definicji do tego). Można też powołać się na
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product
z których wynika, że
\(\displaystyle{ \prod_{N=1}^{ \infty } \frac{2N+1}{2N} = \infty }\)
Dodano po 1 minucie 8 sekundach:
Przyda się też
gdy chcesz znaleźć jawne wzory.
Re: Iloczyn nieskończony
: 23 sty 2020, o 21:54
autor: a4karo
Twój zapis: \(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\dots\) sugeruje, że mówimy o iloczynie \(\prod_{k=1}^\infty\frac{2k-1}{2k}=\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}\). Korzystając z nierówności `\log(1+x)\leq x` prawdziwej dla `x> -1 ` dostajemy
\(\log \prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}=\log \prod_{k=1}^n\left(1-\frac{1}{2k}\right)=\sum_{k=1}^n\log \left(1-\frac{1}{2k}\right)\\
<-\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k}\to -\infty,\)
a to oznacza że iloczyn zbiega do zera.
Re: Iloczyn nieskończony
: 24 sty 2020, o 09:28
autor: Strunowiec
Dziękuję za odpowiedzi.
Chodziło mi 3/2 * 4/3 * 5/4
. Przepraszam za błędny napis.
Nie umiem policzyć granicy tego iloczynu, rozumiem, że dąży do nieskończoności albo do zera, w zależności od pierwszego elementu. Dziękuję za potwierdzenie.
Ale czy mogę prosić o wskazanie błędu w moim myśleniu ?
1. Wiem, że \(\displaystyle{ \lim_{N \to \infty } \frac{(N+1)}{N} = 1 }\)
2. Rozumuję indukcyjnie, że dla dowolnego \(\displaystyle{ N}\), iloczyn jest liczbą naturalną
3. Od "pewnego momentu", wielkiego \(\displaystyle{ N}\), mnożę przez \(\displaystyle{ 1}\)
4. Dlaczego iloczyn ucieka mi w nieskończoność ?
Nie umiem policzyć pochodnej dla takiego iloczynu, ale czy nie myli mnie intuicja, że dąży ona do zera ?
Gdzie się mylę ?
pozdrawiam serdecznie,
Strunowiec
p.s. jeżeli kompromituję się brakiem znajomości analizy, to proszę mi wprost powiedzieć.
Re: Iloczyn nieskończony
: 24 sty 2020, o 09:47
autor: a4karo
Przestaję rozumieć: w pierwszym poście piszesz o ciągu operacji 1/2*3/4*5/6, a to się ma nijak do ciąguu 3/2*4/3*5/4 (który banalnie się skraca i od razu widać, że dąży do nieskończoności
ad 2 Już `3/2` nie jest liczbą naturalną
ad 3 dlaczego sądzisz, że `\frac{N+1}{N}` jest równe `1`? Czyżbyś ograniczał świat do kalkulatora?
Z czego chciałbyś liczyć pochodną
Re: Iloczyn nieskończony
: 24 sty 2020, o 10:11
autor: Strunowiec
1. Przepraszam za błędny zapis, przepraszam za nieporozumienie, dziękuje za zwrócenie uwagi.
Tak, w pierwszym poście zapisałem 1/2*3/4*5, a to ma się nijak do ciągu 3/2*4, etc. nie było to najszczęśliwsze. Ratowałem się tam sformułowaniem "nieparzyste elementy iteracji".
Ciąg, co się banalnie skraca to nie ten temat. Oczywiście trywialne.
2. Liczby wymierne, nie naturalne, mea culpa !
ad.3. sądzę, że limes = 1 a nie kalkulatorowe przybliżenie.
wracając do meritum:
4. Wykazaliście mi, bardzo dziękuję, że
\(\displaystyle{ \frac{3}{2} * \frac{5}{4} }\), etc. dąży do nieskończoności.
5. Gdy patrzę na wykres, to iloczyn sprawia wrażenie zbieżnego.
6. Stąd myślałem nad pochodną od iloczynu
\(\displaystyle{ \prod_{N=1}^{ \infty} \frac{2N+1}{2N} }\),
która jako miara wzrostu, dążyłaby wg mojej intuicji do zera, dowodząc dla funkcji roznącej zbieżności. Tutaj boję się, że wypowiedziałem zdanie przeciw wiedzy matematycznej
7. No i myślałem indukcyjnie.
Jeśli dla każdego N [mam wynik, będący liczbą rzeczywistą, a dalej mnożę przez
praktycznie jeden, to otrzymam w wyniku liczbę wymierną.
8. Moje pytanie brzmi.
Gdzie się mylę ?
pozdrawiam, dziękuję za wyrozumiałość, naprawdę,
Strunowiec
Re: Iloczyn nieskończony
: 24 sty 2020, o 11:07
autor: Dasio11
Następujące rozumowanie może ułatwić Ci zrozumienie, dlaczego omawiany iloczyn jest rozbieżny do nieskończoności:
Łatwo sprawdzić, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{2n+1}{2n} \ge \frac{2n+2}{2n+1}}\).
Mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ \frac{2n+1}{2n}}\), a następnie pierwiastkując, dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{2n+1}{2n} \ge \sqrt{\frac{2n+2}{2n} }}\).
Mając takie oszacowanie od dołu wyrazów naszego iloczynu, możemy oszacować każdy iloczyn częściowy:
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^N \frac{2n+1}{2n} \ge \prod_{n=1}^N \sqrt{\frac{2n+2}{2n} }}\).
Upraszczając prawą stronę:
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^N \sqrt{\frac{2n+2}{2n} } = \sqrt{ \prod_{n=1}^N \frac{2n+2}{2n} } = \sqrt{ \frac{4}{2} \cdot \frac{6}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2N+2}{2N} } = \sqrt{ \frac{2N+2}{2} } = \sqrt{N+1}}\)
otrzymujemy ostatecznie
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^N \frac{2n+1}{2n} \ge \sqrt{N+1}}\).
Skoro więc \(\displaystyle{ N}\)-ty iloczyn częściowy jest większy lub równy wyrażeniu \(\displaystyle{ \sqrt{N+1}}\), które rozbiega do nieskończoności, to tym bardziej sam iloczyn jest rozbieżny do nieskończoności - i to przynajmniej w takim tempie, w jakim rozbieżny jest pierwiastek z en plus jeden.
Odnośnie Twojej intuicji, że dla bardzo dużych \(\displaystyle{ N}\) mnożymy przez coś bardzo bliskiego jedynce, więc iloczyn powinien się ustabilizować: jest to naturalne przypuszczenie, ale tak się składa, że nieprawdziwe. Jest to bowiem iloczyn nieskończony - a więc nawet jeśli różnice (czy też ilorazy) wyrazów o bardzo dużych indeksach są niewielkie (bliskie \(\displaystyle{ 1}\)), to w nieskończoność podlegają one kumulacji. Podobnie tu, jak i w każdym przypadku badania zbieżności szeregu bądź iloczynu, toczy się pewnego rodzaju walka pomiędzy jednym zjawiskiem a drugim - z jednej strony każdy kolejny wyraz bardzo niewiele różni się od poprzedniego, z drugiej zaś owe niewielkie zmiany nawarstwiają się w bardzo długim procesie. I to od proporcji między tempem, w jakim owe zmiany stają się niewielkie, a tempem ich kumulacji, zależy zbieżność bądź rozbieżność rzeczonego iloczynu.
Bardzo podobnym przykładem jest wspomniany już iloczyn \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n}}\). Ma on tę samą właściwość - dla dużych indeksów kolejne iloczyny częściowe różnią się (w sensie ilorazu) o bardzo niewiele, bo
\(\displaystyle{ \lim_{N \to \infty} \frac{N+1}{N} = \lim_{N \to \infty} 1+\frac{1}{N} = 1}\).
Łatwo jednak zrozumieć, dlaczego ów iloczyn rozbiega do nieskończoności, wyliczając jawną postać iloczynów częściowych:
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^N \frac{n+1}{n} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{N+1}{N} = N+1}\).
I na koniec: wcale nie sądzę, że kompromitujesz się brakiem znajomości analizy. Jest to jednak już dość poważna matematyka, z którą początkowo nie radzi sobie wielu studentów, nie jest to zatem nic, czego nieznajomości należy się wstydzić.
Re: Iloczyn nieskończony
: 24 sty 2020, o 11:21
autor: Strunowiec
Bardzo dziękuję za wyjaśnienie.
Zwłaszcza za zdanie
Dasio11 pisze: ↑24 sty 2020, o 11:07
I to od proporcji między tempem, w jakim owe zmiany stają się niewielkie, a tempem ich kumulacji, zależy zbieżność bądź rozbieżność rzeczonego iloczynu.
oraz za przekształcenie, w którym kolejne elementy się ładnie redukują
Dasio11 pisze: ↑24 sty 2020, o 11:07
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^N \sqrt{\frac{2n+2}{2n} } = \sqrt{ \prod_{n=1}^N \frac{2n+2}{2n} } = \sqrt{ \frac{4}{2} \cdot \frac{6}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2N+2}{2N} } = \sqrt{ \frac{2N+2}{2} } = \sqrt{N+1}}\)
pozdrawiam zamykając temat,
Strunowiec.