Iloczyn nieskończony

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
Strunowiec
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 23 sty 2020, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 47
Podziękował: 2 razy

Iloczyn nieskończony

Post autor: Strunowiec » 23 sty 2020, o 19:10

Witam serdecznie jako nowy użytkownik forum.
Szukam u Państwa - koneserów królowej nauk - podpowiedzi.

Mój syn bawiąc się na kalkulatorze wykonywał sekwencję działań 1 / 2 * 3 / 4 * 5 / 6 * / 7 etc.
Oczywiście zauważył, że iteracja stabilizuje się po nieparzystych elementach iteracji.

U mnie zaś powstała refleksja, że wynik powinien być konkretną liczbą, bo \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = 1}\).
Nie umiem zaś zupełnie tej liczby wyprowadzić. Zrobiłem sobie na komputerze 100 milionów iteracji i coś mi tam wyszło ale to wciąż daleko od granicy.

Czy mogę prosić o rozwiązanie lub podpowiedź?

\(\displaystyle{ \prod_{N=1}^{ \infty } \frac{2N+1}{ 2N}}\).

pozdrawiam serdecznie,
Strunowiec.

p.s. zapis latex mistrz !
Ostatnio zmieniony 23 sty 2020, o 19:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie używaj wzorów w temacie posta. Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Zły dział.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2875
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 943 razy

Re: Iloczyn nieskończony

Post autor: Janusz Tracz » 23 sty 2020, o 19:43

Aby uniknąć nieporozumień na początku warto ściśle zdefiniować czy mówimy o

\(\displaystyle{ \prod_{N=1}^{ \infty } \frac{2N+1}{2N} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{6} \cdot ... }\)
czy o
\(\displaystyle{ \prod_{N=1}^{ \infty } \frac{2N-1}{2N} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... }\)

Ma to bowiem kluczowe znaczenie a w Twoim poście piszesz o dwóch wersjach. W pewnym sensie można doszukać się pewnych pomiędzy tymi iloczynami i uzależnić wynik jednego od drugiego, choć to wymagało by trochę (nietrudnych) rachunków. Niezależnie od wersji można poszukać jawnego wzoru na \(\displaystyle{ \prod_{N=1}^{ M } \frac{2N+1}{2N} }\) i \(\displaystyle{ \prod_{N=1}^{ M } \frac{2N-1}{2N} }\) a potem policzyć co się dzieje gdy \(\displaystyle{ M \rightarrow \infty }\) (czyli podejść z definicji do tego). Można też powołać się na kryteria zbieżności z których wynika, że \(\displaystyle{ \prod_{N=1}^{ \infty } \frac{2N+1}{2N} = \infty }\)
formalnie:    
Dodano po 1 minucie 8 sekundach:
Przyda się też Silnia podwójna gdy chcesz znaleźć jawne wzory.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18358
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3097 razy

Re: Iloczyn nieskończony

Post autor: a4karo » 23 sty 2020, o 21:54

Twój zapis: \(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\dots\) sugeruje, że mówimy o iloczynie \(\prod_{k=1}^\infty\frac{2k-1}{2k}=\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}\). Korzystając z nierówności `\log(1+x)\leq x` prawdziwej dla `x> -1 ` dostajemy
\(\log \prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}=\log \prod_{k=1}^n\left(1-\frac{1}{2k}\right)=\sum_{k=1}^n\log \left(1-\frac{1}{2k}\right)\\
<-\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k}\to -\infty,\)
a to oznacza że iloczyn zbiega do zera.

Strunowiec
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 23 sty 2020, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 47
Podziękował: 2 razy

Re: Iloczyn nieskończony

Post autor: Strunowiec » 24 sty 2020, o 09:28

Dziękuję za odpowiedzi.
Chodziło mi 3/2 * 4/3 * 5/4. Przepraszam za błędny napis.
Nie umiem policzyć granicy tego iloczynu, rozumiem, że dąży do nieskończoności albo do zera, w zależności od pierwszego elementu. Dziękuję za potwierdzenie.

Ale czy mogę prosić o wskazanie błędu w moim myśleniu ?
1. Wiem, że \(\displaystyle{ \lim_{N \to \infty } \frac{(N+1)}{N} = 1 }\)
2. Rozumuję indukcyjnie, że dla dowolnego \(\displaystyle{ N}\), iloczyn jest liczbą naturalną
3. Od "pewnego momentu", wielkiego \(\displaystyle{ N}\), mnożę przez \(\displaystyle{ 1}\)
4. Dlaczego iloczyn ucieka mi w nieskończoność ?

Nie umiem policzyć pochodnej dla takiego iloczynu, ale czy nie myli mnie intuicja, że dąży ona do zera ?

Gdzie się mylę ?

pozdrawiam serdecznie,
Strunowiec

p.s. jeżeli kompromituję się brakiem znajomości analizy, to proszę mi wprost powiedzieć.
Ostatnio zmieniony 24 sty 2020, o 16:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18358
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3097 razy

Re: Iloczyn nieskończony

Post autor: a4karo » 24 sty 2020, o 09:47

Przestaję rozumieć: w pierwszym poście piszesz o ciągu operacji 1/2*3/4*5/6, a to się ma nijak do ciąguu 3/2*4/3*5/4 (który banalnie się skraca i od razu widać, że dąży do nieskończoności
ad 2 Już `3/2` nie jest liczbą naturalną
ad 3 dlaczego sądzisz, że `\frac{N+1}{N}` jest równe `1`? Czyżbyś ograniczał świat do kalkulatora?

Z czego chciałbyś liczyć pochodną

Strunowiec
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 23 sty 2020, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 47
Podziękował: 2 razy

Re: Iloczyn nieskończony

Post autor: Strunowiec » 24 sty 2020, o 10:11

1. Przepraszam za błędny zapis, przepraszam za nieporozumienie, dziękuje za zwrócenie uwagi.

Tak, w pierwszym poście zapisałem 1/2*3/4*5, a to ma się nijak do ciągu 3/2*4, etc. nie było to najszczęśliwsze. Ratowałem się tam sformułowaniem "nieparzyste elementy iteracji".
Ciąg, co się banalnie skraca to nie ten temat. Oczywiście trywialne.

2. Liczby wymierne, nie naturalne, mea culpa !

ad.3. sądzę, że limes = 1 a nie kalkulatorowe przybliżenie.

wracając do meritum:

4. Wykazaliście mi, bardzo dziękuję, że

\(\displaystyle{ \frac{3}{2} * \frac{5}{4} }\), etc. dąży do nieskończoności.

5. Gdy patrzę na wykres, to iloczyn sprawia wrażenie zbieżnego.

6. Stąd myślałem nad pochodną od iloczynu \(\displaystyle{ \prod_{N=1}^{ \infty} \frac{2N+1}{2N} }\), która jako miara wzrostu, dążyłaby wg mojej intuicji do zera, dowodząc dla funkcji roznącej zbieżności. Tutaj boję się, że wypowiedziałem zdanie przeciw wiedzy matematycznej :oops:

7. No i myślałem indukcyjnie.
Jeśli dla każdego N [mam wynik, będący liczbą rzeczywistą, a dalej mnożę przez praktycznie jeden, to otrzymam w wyniku liczbę wymierną.

8. Moje pytanie brzmi.
Gdzie się mylę ?

pozdrawiam, dziękuję za wyrozumiałość, naprawdę,
Strunowiec

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9169
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1987 razy

Re: Iloczyn nieskończony

Post autor: Dasio11 » 24 sty 2020, o 11:07

Następujące rozumowanie może ułatwić Ci zrozumienie, dlaczego omawiany iloczyn jest rozbieżny do nieskończoności:

Łatwo sprawdzić, że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ \frac{2n+1}{2n} \ge \frac{2n+2}{2n+1}}\).

Mnożąc stronami przez \(\displaystyle{ \frac{2n+1}{2n}}\), a następnie pierwiastkując, dostajemy:

\(\displaystyle{ \frac{2n+1}{2n} \ge \sqrt{\frac{2n+2}{2n} }}\).

Mając takie oszacowanie od dołu wyrazów naszego iloczynu, możemy oszacować każdy iloczyn częściowy:

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^N \frac{2n+1}{2n} \ge \prod_{n=1}^N \sqrt{\frac{2n+2}{2n} }}\).

Upraszczając prawą stronę:

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^N \sqrt{\frac{2n+2}{2n} } = \sqrt{ \prod_{n=1}^N \frac{2n+2}{2n} } = \sqrt{ \frac{4}{2} \cdot \frac{6}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2N+2}{2N} } = \sqrt{ \frac{2N+2}{2} } = \sqrt{N+1}}\)

otrzymujemy ostatecznie

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^N \frac{2n+1}{2n} \ge \sqrt{N+1}}\).

Skoro więc \(\displaystyle{ N}\)-ty iloczyn częściowy jest większy lub równy wyrażeniu \(\displaystyle{ \sqrt{N+1}}\), które rozbiega do nieskończoności, to tym bardziej sam iloczyn jest rozbieżny do nieskończoności - i to przynajmniej w takim tempie, w jakim rozbieżny jest pierwiastek z en plus jeden.


Odnośnie Twojej intuicji, że dla bardzo dużych \(\displaystyle{ N}\) mnożymy przez coś bardzo bliskiego jedynce, więc iloczyn powinien się ustabilizować: jest to naturalne przypuszczenie, ale tak się składa, że nieprawdziwe. Jest to bowiem iloczyn nieskończony - a więc nawet jeśli różnice (czy też ilorazy) wyrazów o bardzo dużych indeksach są niewielkie (bliskie \(\displaystyle{ 1}\)), to w nieskończoność podlegają one kumulacji. Podobnie tu, jak i w każdym przypadku badania zbieżności szeregu bądź iloczynu, toczy się pewnego rodzaju walka pomiędzy jednym zjawiskiem a drugim - z jednej strony każdy kolejny wyraz bardzo niewiele różni się od poprzedniego, z drugiej zaś owe niewielkie zmiany nawarstwiają się w bardzo długim procesie. I to od proporcji między tempem, w jakim owe zmiany stają się niewielkie, a tempem ich kumulacji, zależy zbieżność bądź rozbieżność rzeczonego iloczynu.

Bardzo podobnym przykładem jest wspomniany już iloczyn \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n}}\). Ma on tę samą właściwość - dla dużych indeksów kolejne iloczyny częściowe różnią się (w sensie ilorazu) o bardzo niewiele, bo

\(\displaystyle{ \lim_{N \to \infty} \frac{N+1}{N} = \lim_{N \to \infty} 1+\frac{1}{N} = 1}\).

Łatwo jednak zrozumieć, dlaczego ów iloczyn rozbiega do nieskończoności, wyliczając jawną postać iloczynów częściowych:

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^N \frac{n+1}{n} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{N+1}{N} = N+1}\).

I na koniec: wcale nie sądzę, że kompromitujesz się brakiem znajomości analizy. Jest to jednak już dość poważna matematyka, z którą początkowo nie radzi sobie wielu studentów, nie jest to zatem nic, czego nieznajomości należy się wstydzić.

Strunowiec
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 23 sty 2020, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 47
Podziękował: 2 razy

Re: Iloczyn nieskończony

Post autor: Strunowiec » 24 sty 2020, o 11:21

Bardzo dziękuję za wyjaśnienie.

Zwłaszcza za zdanie

Dasio11 pisze:
24 sty 2020, o 11:07
I to od proporcji między tempem, w jakim owe zmiany stają się niewielkie, a tempem ich kumulacji, zależy zbieżność bądź rozbieżność rzeczonego iloczynu.
oraz za przekształcenie, w którym kolejne elementy się ładnie redukują

Dasio11 pisze:
24 sty 2020, o 11:07

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^N \sqrt{\frac{2n+2}{2n} } = \sqrt{ \prod_{n=1}^N \frac{2n+2}{2n} } = \sqrt{ \frac{4}{2} \cdot \frac{6}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2N+2}{2N} } = \sqrt{ \frac{2N+2}{2} } = \sqrt{N+1}}\)
pozdrawiam zamykając temat,
Strunowiec.

ODPOWIEDZ