Matematyka.pl

Witam,

mam do rozwiązania takie o to zadanie
ciało o cięzarze G zawieszono na dwoch niciach tworzacych z poziomem katy \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\)
Wyznaczyc siły x niciachoraz wykonać obliczenia dla danych
\(\displaystyle{ G=400N}\)

\(\displaystyle{ \alpha=45}\)

\(\displaystyle{ \beta=30}\)

rówania równowagi są następujące
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} P_{ix}=-S_{1} \cos\alpha+ S_{2} \cos\beta=0}\)
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} P_{iy}=S_{1} \sin\alpha+ S_{2} \sin\beta-G=0}\)
TAK JEST W KSIĄZCE I MI TEŻ TAK WYCHODZI:) HAPPY ale

dalej jest

\(\displaystyle{ S _{1} = \frac{G\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)}}\)
\(\displaystyle{ S _{2} = \frac{G\cos\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}}\)

wiem że to powstało z równań równowagi ... ale ja tego nie widze... moze mi ktoś pokazac?? tak krok po kroku??

Z pierwszego równania znajdź zależność np. \(\displaystyle{ S _{1}}\) od \(\displaystyle{ S _{2}}\).
Podstaw wynik do drugiego równania i sprowadź oba składniki do wspólnego mianownika. Zauważ teraz, po wyłączeniu wspólnego czynnika przed nawias, że jest suma iloczynów funkcji sinus i kosinus (taka przemienność) co odpowiada funkcji trygonometrycznej sumy kątów.
Jak ją napiszesz to wzorki jakie przytoczyłeś są więcej niż widoczne.
W.Kr.

hmm... jak rozumiem wynik: \(\displaystyle{ S_2= \frac{G \cdot [-\sin ( \alpha + \beta)] }{\cos \beta }}\) nie jest poprawny ?

A jak Kolega doszedł do tego równania?
Proszę napiać kolejne przeksztacenia dające taki wynik.

\(\displaystyle{ S_2 \cos \beta}\) jest rzutem siły w ukośnej nici na oś \(\displaystyle{ 0,X}\)
do której wektor siły \(\displaystyle{ G}\) jest prostopadły, zatem jego rzut na tę oś jest zawsze równy zeru.
Stąd pytanie.

Prawdopodobnie gdzieś popełniłem błąd i nie umiem go odnaleźć \(\displaystyle{ \frac{S_2 cos \beta \cdot sin \alpha }{cos \alpha }+ S_2 sin \beta - G =
\frac{S_2 cos \beta \cdot sin \alpha + (S_2 sin \beta -G)cos \alpha }{cos \alpha }=S_2(cos \beta \cdot sin \alpha \cdot sin \beta -G)=0}\)
\(\displaystyle{ S_2 cos \beta =G \cdot -sin( \alpha + \beta) =0}\)
\(\displaystyle{ S_2= \frac{G \cdot -sin( \alpha + \beta )}{cos \beta }}\)

Napiszmy tak:

\(\displaystyle{ S_1 \sin \alpha + S_2 \sin \beta = G}\) ;
\(\displaystyle{ S_2= S_1 \frac{\cos \alpha }{\cos \beta }}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ S_2\cos \beta \sin \alpha + S_2 \sin \alpha \cos \beta = G \cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ S_2 ( \cos \beta \sin \alpha + \sin \beta \cos \alpha ) = G \cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ S_2 \sin ( \alpha + \beta ) = G \cos \alpha}\)
W finale
\(\displaystyle{ S_2 = \frac{G \cos \alpha }{\sin ( \alpha + \beta }}\)

Geometryczna interpretacja tej równości: