MEMO 2014 - zadania
: 20 wrz 2014, o 19:04
Zadania z zawodów indywidualnych MEMO 2014.
Zadanie 1. Znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\RR \longrightarrow \RR}\) takie, że dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ xf(y)+f(xf(y))-xf(f(y))-f(xy)=2x+f(y)-f(x+y).}\)
Zadanie 2. Rozważamy podziały n-kątów na n-2 trójkąty n-3 przekątnymi, które nie przecinają się wewnątrz n-kąta. Dwukolorową triangulacją nazwiemy podział n-kąta, w którym trójkąty powstałe wskutek tego podziału pomalowano na biało lub czarno, przy czym dowolne dwa trójkąty mające wspólny bok są pomalowane różnymi kolorami. Liczbę naturalną \(\displaystyle{ n \ge 4}\) nazwiemy triangulowalną, jeśli dla dowolnego n-kąta foremnego istnieje dwukolorowa triangulacja, w której dla dowolnego wierzchołka A liczba czarnych trójkątów, w których jednym z wierzchołków jest A, jest większa niż liczba białych trójkątów, w których jednym z wierzchołków jest A. Znaleźć wszystkie liczby triangulowalne.
Zadanie 3. Niech \(\displaystyle{ I}\) będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ AB<AC}\). Niech \(\displaystyle{ E}\) będzie punktem leżącym na odcinku \(\displaystyle{ AC}\), przy czym \(\displaystyle{ AE = AB}\). Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie punktem leżącym na prostej \(\displaystyle{ EI}\), przy czym \(\displaystyle{ \angle IBG=\angle CBA}\) oraz \(\displaystyle{ I}\) leży wewnątrz odcinka \(\displaystyle{ EG}\). Wykazać, że prosta \(\displaystyle{ AI}\), prosta prostopadła do \(\displaystyle{ AE}\) przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ E}\), oraz dwusieczna kąta \(\displaystyle{ \angle BGI}\) przecinają się w jednym punkcie.
Zadanie 4. Dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych spełniających warunek \(\displaystyle{ n \ge k \ge 0}\) definiujemy współczynnik bidwumianowy \(\displaystyle{ \left( {n\choose k}\right)}\) wzorem:
\(\displaystyle{ \left( {n\choose k}\right)= \frac{n!!}{k!!(n-k)!!}}\).
Znaleźć wszystkie pary \(\displaystyle{ n,k}\) liczb całkowitych takich, że \(\displaystyle{ n \ge k \ge 0}\) oraz ich współczynnik bidwumianowy jest liczbą całkowitą.
Zadanie 1. Znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\RR \longrightarrow \RR}\) takie, że dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ xf(y)+f(xf(y))-xf(f(y))-f(xy)=2x+f(y)-f(x+y).}\)
Zadanie 2. Rozważamy podziały n-kątów na n-2 trójkąty n-3 przekątnymi, które nie przecinają się wewnątrz n-kąta. Dwukolorową triangulacją nazwiemy podział n-kąta, w którym trójkąty powstałe wskutek tego podziału pomalowano na biało lub czarno, przy czym dowolne dwa trójkąty mające wspólny bok są pomalowane różnymi kolorami. Liczbę naturalną \(\displaystyle{ n \ge 4}\) nazwiemy triangulowalną, jeśli dla dowolnego n-kąta foremnego istnieje dwukolorowa triangulacja, w której dla dowolnego wierzchołka A liczba czarnych trójkątów, w których jednym z wierzchołków jest A, jest większa niż liczba białych trójkątów, w których jednym z wierzchołków jest A. Znaleźć wszystkie liczby triangulowalne.
Zadanie 3. Niech \(\displaystyle{ I}\) będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ AB<AC}\). Niech \(\displaystyle{ E}\) będzie punktem leżącym na odcinku \(\displaystyle{ AC}\), przy czym \(\displaystyle{ AE = AB}\). Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie punktem leżącym na prostej \(\displaystyle{ EI}\), przy czym \(\displaystyle{ \angle IBG=\angle CBA}\) oraz \(\displaystyle{ I}\) leży wewnątrz odcinka \(\displaystyle{ EG}\). Wykazać, że prosta \(\displaystyle{ AI}\), prosta prostopadła do \(\displaystyle{ AE}\) przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ E}\), oraz dwusieczna kąta \(\displaystyle{ \angle BGI}\) przecinają się w jednym punkcie.
Zadanie 4. Dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych spełniających warunek \(\displaystyle{ n \ge k \ge 0}\) definiujemy współczynnik bidwumianowy \(\displaystyle{ \left( {n\choose k}\right)}\) wzorem:
\(\displaystyle{ \left( {n\choose k}\right)= \frac{n!!}{k!!(n-k)!!}}\).
Znaleźć wszystkie pary \(\displaystyle{ n,k}\) liczb całkowitych takich, że \(\displaystyle{ n \ge k \ge 0}\) oraz ich współczynnik bidwumianowy jest liczbą całkowitą.