MEMO 2014 - zadania

Wszelkie konkursy oraz olimpiady matematyczne poza granicami Polski.
emil99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

MEMO 2014 - zadania

Post autor: emil99 » 20 wrz 2014, o 19:04

Zadania z zawodów indywidualnych MEMO 2014.

Zadanie 1. Znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:\RR \longrightarrow \RR}\) takie, że dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ xf(y)+f(xf(y))-xf(f(y))-f(xy)=2x+f(y)-f(x+y).}\)

Zadanie 2. Rozważamy podziały n-kątów na n-2 trójkąty n-3 przekątnymi, które nie przecinają się wewnątrz n-kąta. Dwukolorową triangulacją nazwiemy podział n-kąta, w którym trójkąty powstałe wskutek tego podziału pomalowano na biało lub czarno, przy czym dowolne dwa trójkąty mające wspólny bok są pomalowane różnymi kolorami. Liczbę naturalną \(\displaystyle{ n \ge 4}\) nazwiemy triangulowalną, jeśli dla dowolnego n-kąta foremnego istnieje dwukolorowa triangulacja, w której dla dowolnego wierzchołka A liczba czarnych trójkątów, w których jednym z wierzchołków jest A, jest większa niż liczba białych trójkątów, w których jednym z wierzchołków jest A. Znaleźć wszystkie liczby triangulowalne.

Zadanie 3. Niech \(\displaystyle{ I}\) będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ AB<AC}\). Niech \(\displaystyle{ E}\) będzie punktem leżącym na odcinku \(\displaystyle{ AC}\), przy czym \(\displaystyle{ AE = AB}\). Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie punktem leżącym na prostej \(\displaystyle{ EI}\), przy czym \(\displaystyle{ \angle IBG=\angle CBA}\) oraz \(\displaystyle{ I}\) leży wewnątrz odcinka \(\displaystyle{ EG}\). Wykazać, że prosta \(\displaystyle{ AI}\), prosta prostopadła do \(\displaystyle{ AE}\) przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ E}\), oraz dwusieczna kąta \(\displaystyle{ \angle BGI}\) przecinają się w jednym punkcie.

Zadanie 4. Dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych spełniających warunek \(\displaystyle{ n \ge k \ge 0}\) definiujemy współczynnik bidwumianowy \(\displaystyle{ \left( {n\choose k}\right)}\) wzorem:
\(\displaystyle{ \left( {n\choose k}\right)= \frac{n!!}{k!!(n-k)!!}}\).
Znaleźć wszystkie pary \(\displaystyle{ n,k}\) liczb całkowitych takich, że \(\displaystyle{ n \ge k \ge 0}\) oraz ich współczynnik bidwumianowy jest liczbą całkowitą.
Ostatnio zmieniony 20 wrz 2014, o 19:55 przez emil99, łącznie zmieniany 1 raz.

kicaj

MEMO 2014 - zadania

Post autor: kicaj » 20 wrz 2014, o 19:34

1) Podstawiając \(\displaystyle{ x=1}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ f(y) +f(f(y)) =f(f(y)) -f(y) =2+f(y) -f(y+1).}\)
Jeżeli jakakolwiek funkcja spełnia równanie \(\displaystyle{ f(y) +f(f(y)) =f(f(y)) -f(y)}\) to \(\displaystyle{ f\equiv 0}\) ale funkcja zerowa nie spełnia drugiego równania. Więc wnioskujemy, że taka funkcja nie istnieje.

kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

MEMO 2014 - zadania

Post autor: kaszubki » 20 wrz 2014, o 19:38

E tam zadania. Opowiadajcie jak poszło.

emil99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

MEMO 2014 - zadania

Post autor: emil99 » 20 wrz 2014, o 19:54

Sorry, źle napisałem. Już poprawiam. A wyniki:
Trela, Klukowski, Paluszek, Kobak - 3 zadania
Frejlak, Głodkowski - 2 zadania.

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 296 razy

MEMO 2014 - zadania

Post autor: Ponewor » 20 wrz 2014, o 20:23

kicaj pisze:1) Podstawiając \(\displaystyle{ x=1}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ f(y) +f(f(y)) =f(f(y)) -f(y) =2+f(y) -f(y+1).}\)
Niezupełnie.

emil99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

MEMO 2014 - zadania

Post autor: emil99 » 20 wrz 2014, o 20:59

Ponewor pisze:
kicaj pisze:1) Podstawiając \(\displaystyle{ x=1}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ f(y) +f(f(y)) =f(f(y)) -f(y) =2+f(y) -f(y+1).}\)
Niezupełnie.
Ale wcześniej napisałem złą treść.

Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 392
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 62 razy

MEMO 2014 - zadania

Post autor: Pinionrzek » 21 wrz 2014, o 23:22

3
Ukryta treść:    
Strasznie to proste jak na MEMO.
Ostatnio zmieniony 22 wrz 2014, o 22:58 przez Pinionrzek, łącznie zmieniany 1 raz.

micha73
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 11 cze 2014, o 09:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 6 razy

MEMO 2014 - zadania

Post autor: micha73 » 22 wrz 2014, o 14:30

2. Arthur Engel - Problem-Solving Strategies, zad. 90., s. 339. Jeśli ktoś zna to zadanie, to musi tylko pokaząć prostą konstrukcję na koniec. Na MEMO nie powinny pojawiać się problemy pochodzące z tak znanych źródeł...

EDIT:
1.:    
3.:    
4.:    
Podsumowanie:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

MEMO 2014 - zadania

Post autor: Swistak » 22 wrz 2014, o 16:31

Wszystkie zadanka są tutaj:
http://memo2014.de/index.php/competition/problems-2014
Nie da się ukryć, że zadania I2, I3, I4 raczej nie trzymają poziomu MEMO, a I1 oczywiście musiało być standardowo syfiaste równanie funkcyjne : /. Z drużynówki standardowo zadanka z nieparzystymi numerami niezbyt trudne, T4 też łatwe, nadzieja pozostaje w T2, T6 i T8 .
Raczej nie mam żadnych wątpliwości, że zadania z pierwszego etapu aktualnego OMa są trudniejsze .

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

MEMO 2014 - zadania

Post autor: ordyh » 22 wrz 2014, o 17:18

Nie mam wymienionej książki Arthura Engela, ale nie wydaje mi się, żeby 2. było trudne:
Ukryta treść:    

micha73
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 11 cze 2014, o 09:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 6 razy

MEMO 2014 - zadania

Post autor: micha73 » 22 wrz 2014, o 17:50

2. pojawiło się kiedyś na meczu na pewnych warsztatach, w których uczestniczyłem, i żadna drużyna go wtedy nie zrobiła, więc uznałem, że może jednak coś trudnego w nim jest.

kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

MEMO 2014 - zadania

Post autor: kaszubki » 23 wrz 2014, o 21:00

Wyniki jakieś są?

emil99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

MEMO 2014 - zadania

Post autor: emil99 » 24 wrz 2014, o 17:48

Oficjalne wyniki polaków to:
Paluszek, Trela, Klukowski, Głodkowski - srebro
Kobak, Frejlak - brąz
Drużynowo złoto całe wyniki tutaj http://memo2014.de/index.php/competition/results-2014

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

MEMO 2014 - zadania

Post autor: Swistak » 25 wrz 2014, o 23:28

Gratulacje za złoto w drużynówce! Gratki za T6, całkiem harde, ja do tej pory nie umiem .
Zastanawia mnie fakt, czemu Polacy rokrocznie wygrywają drużynówkę (jedyny wyjątek - moje pierwsze MEMO), pomimo tego, że praktycznie nigdy nie wygrywają sumarycznej indywidualnej klasyfikacji (jedyny wyjątek - pierwsze w ogóle oraz moje drugie MEMO) zazwyczaj dostając srogie lanie od Węgrów .
Tutaj można sobie poprzeglądać fajne statystyki: http://skmo.sk/poradia.php?sutaz=_MEMO

ODPOWIEDZ