Pierwiastek liczby zespolonej
Ogólnie o liczbach zespolonych można przeczytać tutaj: Liczby zespolone - definicja, postać, działania, własnościPoradnik ma na celu pokazanie jak korzystać z tego wzoru.Każda liczba zespolona \(\displaystyle{ z\neq0}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) pierwistków zespolonych stopnia \(\displaystyle{ n}\). Pierwiastki te wyrażają sie wzorem
\(\displaystyle{ w_{k}=\sqrt[n]{|z|}\left( \cos{ \frac{\varphi+2k\pi}{n}}+i \sin{ \frac{\varphi+2k\pi}{n}}\right) }\)
gdzie \(\displaystyle{ k=0,1,\cdots,n-1,\qquad \varphi=\arg\,z}\)
Przykład 1
Policzyć \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\). \(\displaystyle{ z=-1}\)
Przedstawimy liczbę pod pierwiastkiem w postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \left| z \right| = \left| -1 \right| = \left| -1 +0 \cdot i \right|= \sqrt{(-1) ^{2}+0 ^{2} }= \sqrt{1}=1}\)
Kąt można odczytać z rysunku.
\(\displaystyle{ \varphi=\pi}\)
\(\displaystyle{ z=-1 = 1 \cdot ( \cos(\pi)+ i\sin (\pi))}\)
\(\displaystyle{ n=2}\) (stopień pierwiastka )
Zatem dla \(\displaystyle{ k=0}\):
\(\displaystyle{ w_{0}=\sqrt[n]{|z|}\left( \cos \frac{\varphi+2 \cdot 0 \cdot \pi}{n}+i \sin \frac{\varphi+2 \cdot 0 \cdot \pi}{n}\right) =\sqrt[2]{1}\left( \cos \frac{\pi +2 \cdot 0 \cdot \pi}{2}+i \sin \frac{ \pi +2 \cdot 0 \cdot \pi}{2}\right)=\\ =\cos \frac{\pi }{2}+i \sin \frac{ \pi } {2 }= 0+ i \cdot 1=i}\)
Zatem dla \(\displaystyle{ k=1}\):
\(\displaystyle{ w_{1}=\sqrt[n]{|z|}\left( \cos \frac{\varphi+2 \cdot 1 \cdot \pi}{n}+i \sin \frac{\varphi+2 \cdot 1 \cdot \pi}{n}\right) =\sqrt[2]{1}\left( \cos \frac{\pi +2 \cdot 1 \cdot \pi}{2}+i \sin \frac{ \pi +2 \cdot 1 \cdot \pi}{2}\right) =\\= \cos \frac{ 3 \pi }{2}+i \sin \frac{3 \pi } {2 }= 0+ i \cdot(- 1)=- i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{-1}= \{ i, -i \}}\)
Można skorzystać z tego przykładu, aby rozwiązać taką równość:
\(\displaystyle{ z ^{2}+1=0}\)
Sposób 1:
\(\displaystyle{ z ^{2}+1=0 \Leftrightarrow z ^{2}= -1}\)
I zadanie sprowadza się do policzenia \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) tak jak to robiliśmy wyżej.
Sposób 2:
\(\displaystyle{ z ^{2}+1=0}\)
Skorzystamy z tego, że \(\displaystyle{ i ^{2}=-1}\)
\(\displaystyle{ z ^{2} - i ^{2}=0}\)
Skorzystamy z tego, że : \(\displaystyle{ a ^{2}-b ^{2} =(a+b)(a-b)}\)
\(\displaystyle{ (z+i )(z-i)=0}\)
Skorzystamy z tego, że : \(\displaystyle{ a \cdot b= 0 \Rightarrow a=0 \vee b=0}\)
\(\displaystyle{ (z+i ) =0 \vee (z-i)=0}\)
\(\displaystyle{ z=i \vee z= -i}\)
cdn
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW
Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie to też proszę napisać do mnie PW. Jak wniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )