Liczby zespolone - definicja, postać, działania, własności

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z Algebry.
chlip
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 6 paź 2004, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zadupiów
Pomógł: 2 razy

Liczby zespolone - definicja, postać, działania, własności

Post autor: chlip » 22 lis 2004, o 01:44

Liczby zespolone


Definicja i postaci liczb zespolonych [chlip]

Liczba zespolona to uporządkowana para liczb \(\displaystyle{ (a,b)}\). Zbiór liczb zespolonych \(\displaystyle{ \mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}}\).
W \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) określamy działania:
-dodawanie \(\displaystyle{ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}\)
-mnożenie \(\displaystyle{ (a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)}\)
Struktura \(\displaystyle{ (\mathbb{C},+,\cdot)}\) jest ciałem.

Zbiór liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) utożsamiamy z parami \(\displaystyle{ (a,0)\quad, a \in \mathbb{R}}\).

Postać kanoniczna

Liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci kanonicznej (algebraicznej)
\(\displaystyle{ z=a+ib}\)
gdzie: \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}}\) nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej i ozn.\(\displaystyle{ \text{Re }z=a \left( \text{re }z=a \right)}\),
\(\displaystyle{ b \in \mathbb{R}}\) nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej i ozn. \(\displaystyle{ \text{Im }z=b \left( \text{im}z=b \right)}\),
natomiast \(\displaystyle{ i}\) nazywamy jednostką urojoną, o tej własności,że \(\displaystyle{ i^2=-1,\quad ( i=(0,1))}\)

Dla liczby zespolonej \(\displaystyle{ z=a+ib}\) określamy moduł
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

Liczbę sprzężoną do \(\displaystyle{ z=a+bi}\) definiujemy jako
\(\displaystyle{ \overline{z}=a-bi}\)

Postać trygonometryczna

Liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z=a+bi}\) możemy przedstawić w postaci trygonometrycznej jako
\(\displaystyle{ z=|z| \left( \cos\varphi+i \sin\varphi \right)}\)
gdzie: \(\displaystyle{ |z|}\) moduł liczby zespolonej, \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
kąt skierowany \(\displaystyle{ \varphi}\) jest to argument liczby zespolonej i ozn. \(\displaystyle{ \varphi=\arg z}\)( dla liczby \(\displaystyle{ z=0}\) argument nie jest określony)
kąt \(\displaystyle{ \varphi}\) wyliczamy za pomocą wzorów
\(\displaystyle{ \cos\varphi=\frac{a}{|z|} \\
\sin\varphi=\frac{b}{|z|}}\)

\(\displaystyle{ \text{Arg}\ z=\varphi}\) nazywamy argumentem głównym gdy \(\displaystyle{ \varphi\in\langle0,2\pi)}\)

Postać wykładnicza

Liczbę zespoloną \(\displaystyle{ z=a+bi}\) możemy przedstawić w postaci wykładniczej
\(\displaystyle{ z=|z|e^{i \varphi}}\)
gdzie: \(\displaystyle{ |z|}\) moduł liczby zespolonej
\(\displaystyle{ \varphi}\) jest argumentem liczby zespolonej

Pierwiastek liczby zespolonej

Pierwiastkiem zespolonym stopnia \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) z liczby \(\displaystyle{ z}\) nazywamy każdą liczbę \(\displaystyle{ w\in \mathbb{C}}\) taką, że
\(\displaystyle{ w^{n}=z}\) i ozn.\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}=w\quad \Leftrightarrow \quad w^{n}=z}\)

Każda liczba zespolona \(\displaystyle{ z \neq 0}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków zespolonych stopnia \(\displaystyle{ n}\). Pierwiastki te wyrażają sie wzorem
\(\displaystyle{ w_{k}=\sqrt[n]{|z|} \left( \cos{ \frac{\varphi+2k\pi}{n}}+i \sin{ \frac{\varphi+2k\pi}{n}} \right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ k=0,1,\cdots,n-1,\qquad \varphi=\arg z}\)

Działania i podstawowe własności [chlip]

Niech:

\(\displaystyle{ z_1=a+bi=|z_1| \left( \cos{\varphi_1}+i \sin{ \varphi_1} \right) =|z_1|e^{i \varphi_1}, \\
z_2=c+di=|z_2| \left( \cos{\varphi_2}+i \sin{ \varphi_2} \right) =|z_2|e^{i \varphi_2}, \\
z=|z| \left( \cos \varphi+i \sin \varphi \right) ,\quad w\in \mathbb{C}}\)


dodawanie

\(\displaystyle{ z_1+z_2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d)}\)

mnożenie
\(\displaystyle{ z_1\cdot z_2= \left( a+bi \right) \left( c+di \right) =ac+iad+ibc+i^{2}bd= \left( ac-bd \right) +i \left( ad+bc \right) \\ \\
z_1\cdot z_2=|z_1||z_2| \left( \cos \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) +i \sin \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) \right) \\ \\
z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|e^{i \left( \varphi_1 + \varphi_2 \right) }}\)



dzielenie \(\displaystyle{ z_2\neq 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ \left( a+bi \right) \left( c-di \right) }{ \left( c+di \right) \left( c-di \right) }=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} + i \frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}} \\ \\
\frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|} \left( \cos \left( \varphi_1 - \varphi_2 \right) +i \sin \left( \varphi_1 - \varphi_2 \right) \right) \\ \\
\frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}e^{i \left( \varphi_1 - \varphi_2 \right) }}\)


Podstawowe własności:


\(\displaystyle{ (*) \ |z|^2=z \overline{z} \\\\
(*) \ z+\overline{z}=2 \text{Re } z \\\\
(*) \ z-\overline{z}=2i \text{Im }z \\\\
(*)\ z=\overline{z} \quad \Leftrightarrow \quad z\in \mathbb{R} \\\\
(*)\ \overline{z_1+z_2} =\overline{z_1}+\overline{z_2} \\\\
(*) \ \overline{z_1\cdot z_2} =\overline{z_1}\cdot\overline{z_2} \\\\
(*) \ |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2| \\\\
(*)\ |z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2| \\\\
(*)\ \left|{\frac{z_1}{z_2}}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}, \quad z_2\neq 0 \\\\
(*)\ |z^n|=|z|^n \\\\
(*) \ \arg \left( z_1z_2 \right) =\arg z_1+\arg z_2 \\\\
(*) \ \arg \left( {\frac{z_1}{z_2}} \right) =\arg z_1-\arg z_2, z_2\neq 0 \\\\
(*)\ \arg(z^n)=n\ \arg z \\\\
(*)\ \text{wzór de Moivre'a }\\
z^{n}=|z|^{n} \left( \cos \left( n \varphi \right) +i \sin \left( n \varphi \right) \right) \\\\
(*)\ z^{n}=w^{n}\ \Rightarrow \ z=w \sqrt[n]{1}}\)


Wiele przykładów z zastosowaniem powyższej wiedzy i wzorów jest rozwiązane w dziale Liczby zespolone
Ostatnio zmieniony 20 lut 2018, o 13:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

ODPOWIEDZ