Rozwiązywanie równań funkcyjnych

Dział prezentujący praktyczne zastosowanie teorii przy rozwiązywaniu zadań.
Regulamin forum
UWAGA! nie jest to dział, w którym zamieszczane są tematy z prośbą o rozwiązanie zadania.
Wszystkie posty w tym dziale muszą zostać zaakceptowane przez moderatora zanim się pojawią.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Rozwiązywanie równań funkcyjnych

Post autor: mol_ksiazkowy » 17 lut 2018, o 19:42

Rozwiązywanie równań funkcyjnych - przykłady (x 7)

Zadanie
Rozwiązać równanie funkcyjne \(f \left( xf \left( y\right) +x \right) = xy + f \left( x\right) .\)

Rozwiązanie
Jeśli \(x=1\), to \(f \left( f \left( y\right) + 1\right) = y+ f \left( 1\right)\) dla \(y \in \RR\), tj. \(f\) jest odwzorowaniem „na”, czyli istnieje \(x_0\) takie, że \(f \left( x_0\right) = -1.\)

Jeśli więc \(y=x_0\), to \(f \left( 0\right) = xx_0 + f \left( x\right)\) tj. \(f\) jest funkcją liniową. Podstawiając \(f \left( x\right) = ax+b\) do wyjściowego równania mamy rozwiązania: \(f \left( x\right) = x\) lub \(f \left( x\right) = -x.\)


Zadanie
Wyznaczyć wszystkie funkcje \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) takie, że \(19f \left( x \right) - 17f \left( f \left( x\right)\right) = 2x\), gdy \(x \in \mathbb{Z}.\)

Rozwiązanie
Jeśli \(g \left( x\right) = x - f \left( x\right)\), to \(g \left( f \left( x\right)\right) = \frac{2}{17}g \left( x\right)\). tj.

\(17^n g \left( f^{ \left( n\right) } \left( x\right)\right) =2^n g \left( x\right)\) dla \(n=1,2,3,…\); (indukcyjnie) przy czym \(f^{ \left( n\right) } = \underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{n}.\)

Stąd \(g \left( x\right) =0\) (jeśli \(g \left( f^{ \left( n\right) } \left( x\right) \right)=0\), to \(g \left( x\right) =0\) ). Zatem \(f \left( x\right) =x\) jest jedynym rozwiązaniem.

Uwagi: Jeśli to samo równanie rozważyć dla funkcji rzeczywistej (tj. o dziedzinie \(\RR\)) to istnieje też inne rozwiązanie: \(f \left( x \right) = - \frac{2}{17}x\)


Zadanie
Udowodnić, że jeśli \(f: \RR\to \RR\) spełnia równanie \(f \left( x-1\right) + f \left( x+1\right) = \sqrt{2}f \left( x\right)\) dla \(x \in \RR\), to jest okresowa.

Rozwiązanie
Mnożąc równanie przez \(\sqrt{2}\) mamy \(\sqrt{2}f \left( x-1\right) + \sqrt{2}f \left(x+1\right) = 2f \left( x\right)\), czyli \(f \left( x-2 \right) + f \left( x\right) + f \left( x\right) + f \left( x+2\right) = 2f \left( x\right)\)
tj.
(*) \(f \left( x-2\right) =- f \left( x+2\right) .\)

Z tego zaś wynika, że \(f\) jest okresowa i ma okres \(s= 8\), gdyż \(f \left( x+2\right) =-f \left( x+6\right) .\)


Zadanie
Wyznaczyć funkcję \(f: \left( -1, +\infty\right)\to \RR\) taką, że \(1+f \left( x\right) = f \left( \frac{-x}{x+1}\right)\) dla \(x \geq 0.\)

Rozwiązanie
Taka funkcja \(f\) nie istnieje. Jeśli bowiem \(x>-1\) to \(\frac{-x}{x+1} = -1+\frac{1}{x+1} >-1\) oraz \(\frac{ - \frac{-x}{x+1}}{\frac{-x}{x+1} +1} =x\), to \(1+ f \left( \frac{-x}{x+1}\right) = f \left( x\right)\) tj. sprzeczność.


Do rozwiązywania samemu

Zadanie
Wyznaczyć funkcje różnowartościowe, dla których \(f \left( f \left( x\right) + y\right) = f \left( x+y\right) +1\) jeśli \(x, y \in \RR.\)

Zadanie
Dla jakich wielomianów \(P\) i \(Q\) zachodzi równość \(P \left( Q \left( x\right)\right) = Q \left( P \left( x\right)\right)\) dla \(x \in \RR\) ?

Zadanie
Czy istnieje funkcja \(f : \NN \to \NN\) taka, że \(f \left( f \left( n\right)\right) = n+1\) dla \(n \in \NN\) ?


Źródło podstawowe: Titu Andreescu - Functional equations
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18651
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Rozwiązywanie równań funkcyjnych

Post autor: szw1710 » 17 lut 2018, o 19:59

Jest jeszcze ta książka - coś w rodzaju klasyka.

http://www.springer.com/gp/book/9780387345345

ODPOWIEDZ