Rozwiązywanie równań funkcyjnych

Dział prezentujący praktyczne zastosowanie teorii przy rozwiązywaniu zadań.
Regulamin forum
UWAGA! nie jest to dział, w którym zamieszczane są tematy z prośbą o rozwiązanie zadania.
Wszystkie posty w tym dziale muszą zostać zaakceptowane przez moderatora zanim się pojawią.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5847
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2393 razy
Pomógł: 643 razy

Rozwiązywanie równań funkcyjnych

Post autor: mol_ksiazkowy » 17 lut 2018, o 19:42

Rozwiązywanie równań funkcyjnych - przykłady (x 7)

Zadanie
Rozwiązać równanie funkcyjne \(\displaystyle{ f \left( xf \left( y\right) +x \right) = xy + f \left( x\right) .}\)

Rozwiązanie
Jeśli \(\displaystyle{ x=1}\), to \(\displaystyle{ f \left( f \left( y\right) + 1\right) = y+ f \left( 1\right)}\) dla \(\displaystyle{ y \in \RR}\), tj. \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem „na”, czyli istnieje \(\displaystyle{ x_0}\) takie, że \(\displaystyle{ f \left( x_0\right) = -1.}\)

Jeśli więc \(\displaystyle{ y=x_0}\), to \(\displaystyle{ f \left( 0\right) = xx_0 + f \left( x\right)}\) tj. \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją liniową. Podstawiając \(\displaystyle{ f \left( x\right) = ax+b}\) do wyjściowego równania mamy rozwiązania: \(\displaystyle{ f \left( x\right) = x}\) lub \(\displaystyle{ f \left( x\right) = -x.}\)


Zadanie
Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}}\) takie, że \(\displaystyle{ 19f \left( x \right) - 17f \left( f \left( x\right)\right) = 2x}\), gdy \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Z}.}\)

Rozwiązanie
Jeśli \(\displaystyle{ g \left( x\right) = x - f \left( x\right)}\), to \(\displaystyle{ g \left( f \left( x\right)\right) = \frac{2}{17}g \left( x\right)}\). tj.

\(\displaystyle{ 17^n g \left( f^{ \left( n\right) } \left( x\right)\right) =2^n g \left( x\right)}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,…}\); (indukcyjnie) przy czym \(\displaystyle{ f^{ \left( n\right) } = \underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{n}.}\)

Stąd \(\displaystyle{ g \left( x\right) =0}\) (jeśli \(\displaystyle{ g \left( f^{ \left( n\right) } \left( x\right) \right)=0}\), to \(\displaystyle{ g \left( x\right) =0}\) ). Zatem \(\displaystyle{ f \left( x\right) =x}\) jest jedynym rozwiązaniem.

Uwagi: Jeśli to samo równanie rozważyć dla funkcji rzeczywistej (tj. o dziedzinie \(\displaystyle{ \RR}\)) to istnieje też inne rozwiązanie: \(\displaystyle{ f \left( x \right) = - \frac{2}{17}x}\)


Zadanie
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ f: \RR\to \RR}\) spełnia równanie \(\displaystyle{ f \left( x-1\right) + f \left( x+1\right) = \sqrt{2}f \left( x\right)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\), to jest okresowa.

Rozwiązanie
Mnożąc równanie przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) mamy \(\displaystyle{ \sqrt{2}f \left( x-1\right) + \sqrt{2}f \left(x+1\right) = 2f \left( x\right)}\), czyli \(\displaystyle{ f \left( x-2 \right) + f \left( x\right) + f \left( x\right) + f \left( x+2\right) = 2f \left( x\right)}\)
tj.
(*) \(\displaystyle{ f \left( x-2\right) =- f \left( x+2\right) .}\)

Z tego zaś wynika, że \(\displaystyle{ f}\) jest okresowa i ma okres \(\displaystyle{ s= 8}\), gdyż \(\displaystyle{ f \left( x+2\right) =-f \left( x+6\right) .}\)


Zadanie
Wyznaczyć funkcję \(\displaystyle{ f: \left( -1, +\infty\right)\to \RR}\) taką, że \(\displaystyle{ 1+f \left( x\right) = f \left( \frac{-x}{x+1}\right)}\) dla \(\displaystyle{ x \geq 0.}\)

Rozwiązanie
Taka funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie istnieje. Jeśli bowiem \(\displaystyle{ x>-1}\) to \(\displaystyle{ \frac{-x}{x+1} = -1+\frac{1}{x+1} >-1}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{ - \frac{-x}{x+1}}{\frac{-x}{x+1} +1} =x}\), to \(\displaystyle{ 1+ f \left( \frac{-x}{x+1}\right) = f \left( x\right)}\) tj. sprzeczność.


Do rozwiązywania samemu

Zadanie
Wyznaczyć funkcje różnowartościowe, dla których \(\displaystyle{ f \left( f \left( x\right) + y\right) = f \left( x+y\right) +1}\) jeśli \(\displaystyle{ x, y \in \RR.}\)

Zadanie
Dla jakich wielomianów \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ P \left( Q \left( x\right)\right) = Q \left( P \left( x\right)\right)}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\) ?

Zadanie
Czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f : \NN \to \NN}\) taka, że \(\displaystyle{ f \left( f \left( n\right)\right) = n+1}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\) ?


Źródło podstawowe: Titu Andreescu - Functional equations
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18700
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3708 razy

Rozwiązywanie równań funkcyjnych

Post autor: szw1710 » 17 lut 2018, o 19:59

Jest jeszcze ta książka - coś w rodzaju klasyka.

http://www.springer.com/gp/book/9780387345345

ODPOWIEDZ