Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki https://matematyka.pl/
Cześć, mam problem z rozwiązaniem modelu w którym bierzemy pod uwagę migrację niezależną od czasu: \(\displaystyle{ N'(t)= r_{n}N(t)-m}\).
Chciałam skorzystać z metody uzmienniania stałych ale coś mi nie wychodzi.
Odpowiedź to \(\displaystyle{ N(t)= \frac{m}{r_{n}}+\left( N_{0}-\frac{m}{r_{n}}\right)e^{r_{n}t}.}\)
Re: Model Malthusa
: 4 maja 2019, o 10:46
autor: Janusz Tracz
Metod jest kilka dla przykładu dwie najbardziej standardowe:
z uzmiennieniem:
Zaczynamy od równania jednorodnego czyli
\(\displaystyle{ N'(t)-r_nN(t)=0}\)
rozwiązując to za za pomocą zmiennych rozdzielonych mamy kolejno:
\(\displaystyle{ \frac{N'(t)}{N(t)}=r_n}\)
\(\displaystyle{ \ln \left| CN(t)\right|=r_nt}\)
\(\displaystyle{ \blue{N(t)=Ce^{r_nt}}}\)
Wstawiając to do pierwotnego równania przy założeniu, że \(\displaystyle{ C=C(t)}\) otrzymujemy
A kładąc warunek początkowy \(\displaystyle{ N(0)=N_0}\) dostajemy wartość, że \(\displaystyle{ \mathcal{C}=N_0- \frac{m}{r_n}}\) stąd ostatecznie faktycznie zachodzi wzór
Więc znaleźliśmy się w tym samym punkcie co w rozwiązaniu z uzmiennianiem stałej tylko, że nastąpiło to znacznie szybciej. Dalsza część jest już kopią tego co wyżej dlatego nie pisze. Po prosty zakładasz warunek początkowy i dostajesz to samo.
Re: Model Malthusa
: 5 maja 2019, o 11:04
autor: gms
Ah, widzę już teraz już swój błąd, dziękuje za szybką pomoc, pozdrawiam .