Matematyka.pl

Rozwiązuję takie równanie różniczkowe
\(\displaystyle{ X''-\alpha^2X=0 \qquad \text{gdzie } X=X(x), \alpha>0}\)
z warunkami brzegowymi
\(\displaystyle{ X'(0)=0, \quad X'(a)=0 \qquad \text{gdzie } 0<x<a}\)

Całka ogólna to:
\(\displaystyle{ X(x)=c_1 e^{\alpha x} + c_2 e^{-\alpha x}}\)

Korzystając z warunków brzegowych napotykam na pewien problem.
\(\displaystyle{ X'(x) = \alpha c_1 e^{\alpha x} - \alpha c_2 e^{-\alpha x}}\)


\(\displaystyle{ X'(x)=0 \implies \alpha c_1 - \alpha c_2 = 0 \implies c_1=c_2}\)

\(\displaystyle{ X'(a)=0 \implies \alpha c_1 e^{\alpha a} - \alpha c_1 e^{-\alpha a} = 0}\)

\(\displaystyle{ \alpha c_1 e^{\alpha a} = \alpha c_1 e^{-\alpha a} \quad \big/ : \alpha c_1}\)

\(\displaystyle{ e^{\alpha a} = e^{-\alpha a}}\)

\(\displaystyle{ \ln{e^{\alpha a}} = \ln{e^{-\alpha a}}}\)

\(\displaystyle{ \alpha a = -\alpha a \quad \big/ : \alpha a}\)

\(\displaystyle{ 1=-1}\)

Oznacza to sprzeczność i brak rozwiązania dla wskazanych warunków brzegowych? Czy coś źle zrobiłem? Proszę o pomoc.

insanis pisze:\(\displaystyle{ X''=-\alpha^2X=0 \qquad \text{gdzie } X=X(x), \alpha>0}\)

Nie za dużo tych równości?

insanis pisze:\(\displaystyle{ \alpha c_1 e^{\alpha a} = \alpha c_1 e^{-\alpha a} \quad \big/ : \alpha c_1}\)

A kto Ci pozwolił tak dzielić? Skąd wiesz, że nie dzielisz przez zero?

JK

Jan Kraszewski pisze:

insanis pisze:\(\displaystyle{ X''=-\alpha^2X=0 \qquad \text{gdzie } X=X(x), \alpha>0}\)

Nie za dużo tych równości?

insanis pisze:\(\displaystyle{ \alpha c_1 e^{\alpha a} = \alpha c_1 e^{-\alpha a} \quad \big/ : \alpha c_1}\)

A kto Ci pozwolił tak dzielić? Skąd wiesz, że nie dzielisz przez zero?

JK

1) Poprawione

2) Faktycznie. Myślałem o \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ a}\) a nie pomyślałem o tym, że \(\displaystyle{ c_1}\) może być równe 0

Dziękuję