Warunki brzegowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
insanis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 26 paź 2014, o 13:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Warunki brzegowe

Post autor: insanis » 4 mar 2019, o 22:49

Rozwiązuję takie równanie różniczkowe
\(X''-\alpha^2X=0 \qquad \text{gdzie } X=X(x), \alpha>0\)
z warunkami brzegowymi
\(X'(0)=0, \quad X'(a)=0 \qquad \text{gdzie } 0<x<a\)

Całka ogólna to:
\(X(x)=c_1 e^{\alpha x} + c_2 e^{-\alpha x}\)

Korzystając z warunków brzegowych napotykam na pewien problem.
\(X'(x) = \alpha c_1 e^{\alpha x} - \alpha c_2 e^{-\alpha x}\)


\(X'(x)=0 \implies \alpha c_1 - \alpha c_2 = 0 \implies c_1=c_2\)

\(X'(a)=0 \implies \alpha c_1 e^{\alpha a} - \alpha c_1 e^{-\alpha a} = 0\)

\(\alpha c_1 e^{\alpha a} = \alpha c_1 e^{-\alpha a} \quad \big/ : \alpha c_1\)

\(e^{\alpha a} = e^{-\alpha a}\)

\(\ln{e^{\alpha a}} = \ln{e^{-\alpha a}}\)

\(\alpha a = -\alpha a \quad \big/ : \alpha a\)

\(1=-1\)

Oznacza to sprzeczność i brak rozwiązania dla wskazanych warunków brzegowych? Czy coś źle zrobiłem? Proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 4 mar 2019, o 22:57 przez insanis, łącznie zmieniany 1 raz.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 24934
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Warunki brzegowe

Post autor: Jan Kraszewski » 4 mar 2019, o 22:55

insanis pisze:\(X''=-\alpha^2X=0 \qquad \text{gdzie } X=X(x), \alpha>0\)
Nie za dużo tych równości?
insanis pisze:\(\alpha c_1 e^{\alpha a} = \alpha c_1 e^{-\alpha a} \quad \big/ : \alpha c_1\)
A kto Ci pozwolił tak dzielić? Skąd wiesz, że nie dzielisz przez zero?

JK

insanis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 26 paź 2014, o 13:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Warunki brzegowe

Post autor: insanis » 4 mar 2019, o 23:05

Jan Kraszewski pisze:
insanis pisze:\(X''=-\alpha^2X=0 \qquad \text{gdzie } X=X(x), \alpha>0\)
Nie za dużo tych równości?
insanis pisze:\(\alpha c_1 e^{\alpha a} = \alpha c_1 e^{-\alpha a} \quad \big/ : \alpha c_1\)
A kto Ci pozwolił tak dzielić? Skąd wiesz, że nie dzielisz przez zero?

JK
1) Poprawione

2) Faktycznie. Myślałem o \(\alpha\) i \(a\) a nie pomyślałem o tym, że \(c_1\) może być równe 0

Dziękuję

ODPOWIEDZ