Matematyka.pl

W jaki sposób rozwikłać: \(\displaystyle{ \frac{1}{4} (-\ln (-2t+1) -2t +1) =\ln (x) +c}\) ?
Próbowałem na kilka sposobów, stosując funkcję odwrotną, niestety nic nie osiągnąłem.

Ale jaka forma Cię interesuje \(\displaystyle{ x(t)}\) czy \(\displaystyle{ t(x)}\). Podejrzewam że \(\displaystyle{ x(t)}\), wystarczy przerzucić to \(\displaystyle{ c}\) i nałożyć \(\displaystyle{ \exp}\) zostanie samotny \(\displaystyle{ x}\) po prawej i gotowe.

Równanie ma postać \(\displaystyle{ xydy= (x-y)^2dx}\)
Podstawiając za \(\displaystyle{ y=x \cdot t}\) oraz całkując obustronnie otrzymałem powyższy wynik.

I spodziewałeś się że się tego wszyscy domyślą? No nic dobrze że zdecydowałeś się to powiedzieć prędzej niż później. Skoro \(\displaystyle{ y=xt}\) to \(\displaystyle{ t= \frac{y}{x}}\) więc końcową odpowiedzią nie jest

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} (-\ln (-2t+1) -2t +1) =\ln (x) +c}\)

tylko

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \left( -\ln \left(-\frac{2y}{x}+1\right) -\frac{2y}{x} +1\right) =\ln (x) +c}\)

i raczej nie da się tego rozwikłać tak po prostu zostaje.