Matematyka.pl

Rozwiąż równanie, tzn. znajdź funkcję.:\(\displaystyle{ x(t)}\):

\(\displaystyle{ \int_{0}^{x} \sqrt{x'^2+y'^2}dt =t}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ x=h(t)}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{t}{1+t}}\)

może prostsza wersja:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{x(t)}x(t)dt=t= \int_{0}^{t}x[x(t)]x'(t)dt=t}\)

mamy tu całkowanie wzdłuż krzywej...

po zróżniczkowaniu otrzymamy:

\(\displaystyle{ x[x(t)]x'(t)=1}\)

a teraz...

Korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego - różniczkujemy równanie stronami względem \(\displaystyle{ t.}\)

Podnosimy otrzymane równanie do kwadratu.

Rozwiązujemy równanie różniczkowe zwyczajne względem \(\displaystyle{ y.}\)

Korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego - różniczkujemy równanie stronami względem t.

od razu by było źle bo najpierw trzeba wykonać całkowanie po krzywej...

Drugi niby prostszy przykład doprowadził do równania różniczkowego ze złożeniem funkcji i tu jest pies pogrzebany...

Nie bardzo wiem dlaczego?

To pociągnij temat rozwiąż:

\(\displaystyle{ f(f(x))f'(x)=1}\)

Już w przypadku gdy:

\(\displaystyle{ g(x)=e^x}\)

To znalezienie takiej f(x), że:

\(\displaystyle{ f(f(x))=e^x}\)

jest trudne ale wykonalne, a co dopiero w przypadku ogólnym...

bo dla:

\(\displaystyle{ ff(x)=x}\)

jest banalne...