Równanie całkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3707
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko

Równanie całkowe

Post autor: arek1357 » 8 lis 2018, o 21:17

Rozwiąż równanie, tzn. znajdź funkcję.:\(x(t)\):

\(\int_{0}^{x} \sqrt{x'^2+y'^2}dt =t\)

gdzie:

\(x=h(t)\)

\(y= \frac{t}{1+t}\)

może prostsza wersja:

\(\int_{0}^{x(t)}x(t)dt=t= \int_{0}^{t}x[x(t)]x'(t)dt=t\)

mamy tu całkowanie wzdłuż krzywej...

po zróżniczkowaniu otrzymamy:

\(x[x(t)]x'(t)=1\)

a teraz...

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Równanie całkowe

Post autor: janusz47 » 9 lis 2018, o 09:56

Korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego - różniczkujemy równanie stronami względem \(t.\)

Podnosimy otrzymane równanie do kwadratu.

Rozwiązujemy równanie różniczkowe zwyczajne względem \(y.\)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3707
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko

Re: Równanie całkowe

Post autor: arek1357 » 9 lis 2018, o 11:00

Korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego - różniczkujemy równanie stronami względem t.
od razu by było źle bo najpierw trzeba wykonać całkowanie po krzywej...

Drugi niby prostszy przykład doprowadził do równania różniczkowego ze złożeniem funkcji i tu jest pies pogrzebany...

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Równanie całkowe

Post autor: janusz47 » 10 lis 2018, o 14:43

Nie bardzo wiem dlaczego?

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3707
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko

Re: Równanie całkowe

Post autor: arek1357 » 10 lis 2018, o 15:50

To pociągnij temat rozwiąż:

\(f(f(x))f'(x)=1\)

Już w przypadku gdy:

\(g(x)=e^x\)

To znalezienie takiej f(x), że:

\(f(f(x))=e^x\)

jest trudne ale wykonalne, a co dopiero w przypadku ogólnym...

bo dla:

\(ff(x)=x\)

jest banalne...

ODPOWIEDZ