trajektoria równania
: 27 paź 2018, o 11:59
Wyznacz trajektorię równania różniczkowego
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x'=y\\y'=-x \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x'=y\\y'=-x \end{array}}\)
Z pierwszego równania wynika że \(\displaystyle{ x''=y'}\) podstawiając to do drugiego równania mamy
\(\displaystyle{ x''=-x}\)
To łatwo rozwiązać jako że jest to równanie 2 stopnia o stałych współczynnikach postaci:
\(\displaystyle{ x''+x=0}\)
Po zastosowaniu procedury na rozwiązanie z wielomianem charakterystycznym tego równania mamy:
\(\displaystyle{ x=C_1\cos t+C_2\sin t}\)
Teraz już łatwo wyznaczyć \(\displaystyle{ y}\) jako że \(\displaystyle{ y=x'=\left( C_1\cos t+C_2\sin t\right)'}\)